Теоремы Гёделя о неполноте
Материал из Науки — свободной энциклопедии.
Теоремы Гёделя о неполноте — две теоремы математической логики о неполноте формальных систем определённого рода.
Содержание |
[править] Первая теорема Гёделя о неполноте
|
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка[1] существует такая замкнутая формула | 
|
Иначе говоря, в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Например, такое утверждение можно добавить к системе аксиом, оставив её непротиворечивой. При этом для новой теории (с увеличенным количеством аксиом) также будет существовать недоказуемое и неопровержимое утверждение.
Теорема была доказана Куртом Гёделем в 1931 году.
[править] Вторая теорема Гёделя о неполноте
|
|
Во всякой достаточно богатой непротиворечивой теории первого порядка[1] формула, утверждающая непротиворечивость этой теории, не является выводимой в ней. |
|
Иными словами, непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.
Эта теорема имеет широкие последствия как для математики, так и для философии, в частности, для онтологии и философии науки.
[править] Литература
- Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте. «Популярные лекции по математике» М.: «Наука», 1982 г., 110 стр.
[править] См. также
- Теорема Гёделя о полноте
- Парадокс лжеца
- Недоказуемые утверждения
- Теорема Лёба
- Теорема Тарского о невыразимости истины
- Натуральные числа
- Формальная теория
- Дедуктивная теория
[править] Ссылки
- Академик Ю. Л. Ершов «Доказательность в математике», программа А. Гордона от 16 июня 2003 года
- А. Б. Сосинский «Теорема Геделя», летняя школа «Современная математика», Дубна, 2006
- М. Кордонский «Конец истины» ISBN 5-946448-001-04
- Успенский В.А., Цикл лекций «Теорема Гёделя о неполноте и четыре дороги, ведущие к ней» на сайте www.mathnet.ru, 20-22 июля 2007 г.
[править] Примечания
- ↑ 1,0 1,1 в частности, во всякой непротиворечивой теории, включающей формальную арифметику
Эта страница использует содержимое раздела Википедии на русском языке. Оригинальная статья находится по адресу: Теоремы Гёделя о неполноте. Список первоначальных авторов статьи можно посмотреть в истории правок. Так же, как и в этом проекте, тексты, размещённые в Википедии, доступны на условиях GNU FDL.
