Случайный процесс

Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или пространства.

Определение[]

Пусть дано вероятностное пространство $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . Параметризованное семейство $\{X_t\}_{t \in T}$ случайных величин

X_t(\cdot) : \Omega \to \mathbb{R},\quad t \in T

,

где $T$ произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология[]

Если $T \subset \mathbb{R}$ , то параметр $t \in T$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция $\{X_t\}$ называется случайным процессом. Если множество $T$ дискретно, например $T \subset \mathbb{N}$ , то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

Если $T \subset \mathbb{R}^n$ , где $n \geq 1$ , то параметр $t \in T$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности термин случайный процесс часто используется как безусловный синоним термина случайная функция.

Классификация[]

Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени $\;t_1, t_2, \ldots, t_n$ , но не от самих значений этих величин. В противном случае, он называется нестационарным.
Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А.Я. Хинчин.
Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдующие моменты времени, называются марковскими.
Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если

\forall n=3, 4, ..., \forall t_1, t_2, ..., t_n : t_1<t_2<...<t_n:

(X_{t_2}-X_{t_1}), (X_{t_3}-X_{t_2}), ..., (X_{t_n}-X_{t_{n-1}})

- независимые случайные величины.

Замечание[]

Пусть дан случайный процесс $\{X_t\}_{t \in T}$ . Тогда для каждого фиксированного $t \in T$ $X_t$ — случайная величина. Если фиксирован элементарный исход $\omega \in \Omega$ , то $X_t:T \to \mathbb{R}$ — детерминистическая функция параметра $t$ . Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции $\{X_t\}$ .

Примеры[]

$\{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ , где $\;X_i \sim \mathrm{N}(0,1)$ называется гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
Пусть $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , и $Y$ — случайная величина. Тогда