Нормальное распределение

Helgus ~ µастер ~ Kласс: Это незавершённая статья по ивентологии и её применениям

Нормальное распределение — одно из важнейших распределений в теории вероятностей; термин принадлежит Карлу Пирсону (K.Pearson); встречаются также названия: второй закон Лапласа, закон Гаусса, лапласовское распределение, гауссовское распределение, распределение Лапласа-Гаусса, распределение Гаусса-Лапласа; применяется как по отношению к распределениям вероятностей случайных величин, так и по отношению к совместным распределениям вероятностей нескольких случайных величин — к многомерным распределениям случайных векторов; общее определение нормального распределения обычно сводится к одномерному случаю.

Распределение вероятностей случайной величины $\xi$ называется нормальным, если оно имеет плотность вероятности вида

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma}} e^{-(x-m)^2 / 2\sigma^2}.$

Семейство нормальных распределений зависит от двух параметров $m$ и $\sigma>0$, где

$m=\mathbf{E}\xi$

— математическое ожидание, а

$\sigma^2 = \mathbf{D}\xi$

— дисперсия нормальной случайной величины.

\emph{Характеристическая функция} одномерной нормальной случайной величины имеет вид

$f(t) = \mathbf{E}e^{it\xi} = e^{imt-\sigma^2t^2/2}.$

Кривая нормальной плотности $y=f(x)$ симметрична относительно ординаты, проходящей через точку $x=m$, и имеет в этой точке единственный максимум, равный $1/\sqrt{2\pi\sigma}$. Изменение $\sigma$ меняет форму кривой: с уменьшением $\sigma$ кривая нормальной плотности становится более островершинной; изменение $m$ при постоянном $\sigma$ вызывает смещение кривой вдоль оси абсцисс, не меняя формы кривой. Площадь, заключённая под кривой нормальной плотности всегда равна единице.

При $m = 0$, $\sigma = 1$ распределение называется стандартным нормальным распределением и соответствующая функция распределения принимает вид

$\Phi(x) = \int_{-\infty}^x e^{-u^2/2} du.$

В общем (настандартном) случае нормальная функция распределения вычисляется через стандартную по формуле

$F(x;m,\sigma) = \Phi((x-m)/\sigma).$

Функция стандартного нормального распределения (и несколько её производных) затабулированы.

Для нормального распределения

$\mathbf{P}(|\xi-m|>k\sigma) = 1-\Phi(k)+\Phi(-k)$

— вероятность данного неравенства убывает достаточно быстро с ростом $k$. Во многих приложениях обычно пренебрегают возможностью отклонений от $m$ больше, чем на $3\sigma$, пользуясь так называемым правилом трёх сигм (вероятность выхода за три сигмы меньше $0.003$, см. таблицу ниже).

• $k=1: \ \ \ 0.31731$
• $k=2: \ \ \ 0.45500 \cdot 10^{-1}$
• $k=3: \ \ \ 0.26998 \cdot 10^{-2}$
• $k=4: \ \ \ 0.63342 \cdot 10^{-4}$

Нормальное распределение встречается во впечатляюще большом числе приложений. Теоретическое объяснение этого факта дают предельные теоремы теории вероятностей, из которых следует, что нормальное распределение служит хорошим приближением каждый раз, когда исследуемая случайная величина представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, максимальная из которых мала по сравнению со всей суммой

См.также

• Нормальное многомерное распределение
• Распределение вероятностей