ФЭНДОМ


В дифференциальной геометрии, кривизна́ — собирательное название ряда количественных характеристик (скалярных, векторных, тензорных), описывающих отклонение того или иного геометрического «объекта» (кривой, поверхности, риманова пространства и т. д.) от соответствующих «плоских» объектов (прямая, плоскость, евклидово пространство и т. д.).

Обычно кривизна определяется для каждой точки на «объекте» и выражается как значение некоторого дифференциального выражения 2-го порядка. Иногда кривизна определяется в интегральном смысле, например, как мера, такие определения используют для «объектов» пониженной гладкости. Как правило, тождественное обращение в нуль кривизны во всех точках влечёт локальное совпадение изучаемого «объекта» с «плоским» объектом.

В этой статье приводятся только несколько простейших примеров определений понятия кривизны.

Кривизна кривой Править

Пусть \gamma(t) — регулярная кривая в d-мерном евклидовом пространстве, параметризованная ее длиной t. Тогда

\kappa=|\ddot\gamma(t)|

называется кривизной кривой \gamma в точке p=\gamma(t), здесь \ddot\gamma(t) обозначает вторую производную по t. Вектор

k=\ddot\gamma(t)

называется вектором кривизны \gamma в точке p=\gamma(t).

Очевидно, это определение можно переписать через вектор касательной \tau(t) = \dot\gamma(t):

k=\dot\tau(t),

где одна точка над буквой означает первую производную по t.

Osculating circle

Для кривой, заданной параметрически, в общем случае кривизна выражается формулой

\kappa=\frac{|\gamma'\times \gamma''|}{|\gamma'|^3},

где \gamma' и \gamma'' соответственно обозначают первую и вторую производную радиус-вектора \gamma в требуемой точке по параметру (при этом под \times для кривой в трехмерном пространстве можно понимать векторное произведение, для кривой в двумерном пространстве — псевдоскалярное произведение, а для кривой в пространстве произвольной размерности — внешнее произведение).

Для кривой на декартовой плоскости, заданной уравнением y = y(x), кривизна вычисляется по формуле:

\kappa(x) = \frac{|y''|}{(\sqrt{1+y'^2})^3}.

Для того, чтобы кривая \gamma совпадала с некоторым отрезком прямой или со всей прямой, необходимо и достаточно, чтобы её кривизна (или вектор кривизны) во всех точках тождественно равнялась нулю.

Величина, обратная кривизне кривой (r=1/\kappa), называется радиусом кривизны; он совпадает с радиусом соприкасающейся окружности в данной точке кривой. Центр этой окружности называется центром кривизны. Если кривизна кривой равна нулю, то соприкасающаяся окружность вырождается в прямую.

Кривизна поверхности Править

Пусть \Phi есть регулярная поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть p — точка \Phi, T_p — касательная плоскость к \Phi в точке p, n — единичная нормаль к \Phi в точке p, а — \pi_e плоскость, проходящая через n и некоторый единичный вектор e в T_p. Кривая \gamma_e, получающаяся как пересечение плоскости \pi_e с поверхностью \Phi, называется нормальным сечением поверхности \Phi в точке p в направлении e. Величина

\kappa_e=k\cdot n

где \cdot обозначает скалярное произведение, а kвектор кривизны \gamma_e в точке p, называется нормальной кривизной поверхности \Phi в направлении e. С точностью до знака нормальная кривизна равна кривизне кривой \gamma_e.

В касательной плоскости T_p существуют два перпендикулярных направления e_1 и e_2 такие, что нормальную кривизну в произвольном направлении можно представить с помощью так называемой формулы Эйлера:

\kappa_e=\kappa_1\cos^2\alpha+\kappa_2\sin^2\alpha

где \alpha — угол между этим направлением и e_1, a величины \kappa_1 и \kappa_2 нормальные кривизны в направлениях e_1 и e_2, они называются главными кривизнами, а направления e_1 и e_2главными направлениями поверхности в точке p. Главные кривизны являются экстремальными значениями нормальных кривизн. Структуру нормальных кривизн в данной точке поверхности удобно графически изображать с помощью индикатрисы Дюпена.

Величина

H=\kappa_1+\kappa_2, (иногда \frac{\kappa_1+\kappa_2}2)

называется средней кривизной поверхности. Величина

K=\kappa_1\kappa_2

называется гауссовой кривизной поверхности.

Гауссова кривизна является объектом внутренней геометрии поверхностей, в частности, не изменяется при изометрических изгибаниях.

См. также Править

Литература Править


  1. Википедия Кривизна адрес
  2. Викисловарьадрес
  3. Викицитатникадрес
  4. Викиучебникадрес
  5. Викитекаадрес
  6. Викиновостиадрес
  7. Викиверситетадрес
  8. Викигидадрес

Выделить Кривизна и найти в:

  1. Вокруг света адрес
  2. Академик адрес
  3. Астронет адрес
  4. Элементы адрес
  5. Научная Россия адрес
  6. Кругосвет адрес
  7. Научная Сеть
  8. Традицияадрес
  9. Циклопедияадрес
  10. Викизнаниеадрес
  1. Google
  2. Bing
  3. Yahoo
  4. Яндекс
  5. Mail.ru
  6. Рамблер
  7. Нигма.РФ
  8. Спутник
  9. Google Scholar
  10. Апорт
  11. Онлайн-переводчик
  12. Архив Интернета
  13. Научно-популярные фильмы на Яндексе
  14. Документальные фильмы
  1. Список ru-вики
  2. Вики-сайты на русском языке
  3. Список крупных русскоязычных википроектов
  4. Каталог wiki-сайтов
  5. Русскоязычные wiki-проекты
  6. Викизнание:Каталог wiki-сайтов
  7. Научно-популярные сайты в Интернете
  8. Лучшие научные сайты на нашем портале
  9. Лучшие научно-популярные сайты
  10. Каталог научно-познавательных сайтов
  11. НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов

  • Страница 0 - краткая статья
  • Страница 1 - энциклопедическая статья
  • Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
  • Прошу вносить вашу информацию в «Кривизна 1», чтобы сохранить ее

Комментарии читателей:Править

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Также на ФЭНДОМЕ

Случайная вики