Квантовый электромагнитный резонатор

Квантовый электромагнитный резонатор (КЭР) – замкнутый топологический объект в трехмерном пространстве, в общем случае– ‘’полость’’ произвольной формы, которая имеет определенную ‘’поверхность’’ и ‘’толщину’’. В противоположность до классического случая, здесь нет никаких электромагнитных волн и радиационных потерь, но бесконечные сдвинутые по фазе осцилляции электромагнитного поля, в соответствии с квантовыми свойствами КЭР.

История

Так случилось, что такие физические величины как емкость и индуктивность не представляют никакого интереса в современной квантовой электродинамике. Более того, ими пренебрегают даже в классической электродинамике, где доминируют электрические и магнитные поля. Дело в том, что эти физические величины не входят в явном виде в уравнения Максвелла, и поэтому результирующие решения содержат только поля. Да, иногда эти коэффициенты получались из уравнений Максвелла, но очень редко и поэтому отношение к ним было соответствующее. Также известно, что т.н. «полевой подход» в электродинамике, который также учитывает «точечные заряды» также ведет к «дурным бесконечностям», когда радиус взаимодействия стремиться к нулевому значению. Более того, эти «дурные бесконечности» также присутствуют и в квантовой электродинамике, где разработаны мощные методы для их компенсации. В противоположность к теоретической физике, в прикладной физике эти реактивные параметры нашли широкое использование, сначала в электротехнике, а потом и в радиоэлектронике. Сегодня реактивные параметры широко используются в информационных технологиях, которые основываются на генерации, передаче и излучении электромагнитных волн на высоких радио-частотах. Современная ситуация, без соответствующего развития теории реактивных параметров (емкости, индуктивности и электромагнитного резонатора) сдерживает развитие информационных технологий и квантовых вычислений. Следует отметить, что квантовый гармонический осциллятор, рассмотренный в квантовой механике в начале 30-х годов 20-го века, учитывает только пространственные механические смещения. А квантовое рассмотрение $LC - \$ контуров началось только в начале 70-х годов Луизеллом (1973) . Поскольку тогда не было практических примеров квантовых емкостей и индуктивностей, поэтому подход Луизелла не получил должного развития. Теоретически корректное ведение квантовой емкости, основанное на плотности состояний, впервые было предложено Лурием (1988) для КЭХ. Однако Лурий не ввел квантовых индуктивностей, и поэтому в рамках его подхода не рассматривались квантовые LC- контуры и резонаторы. Годом позже, Якимаха (1989) рассмотрел пример последовательно- параллельного соединения квантовых $LC - \$ контуров (и их импедансы) при рассмотрении КЭХ (целочисленного и дробного). Однако и в этой работе отсутствовало рассмотрение уравнение Шредингера для квантовых LC- контуров. Впервые обе квантовые реактивные параметры (емкость и индуктивность) были рассмотрены Якимахой (1994) , при спектроскопических исследованиях МДП-транзисторов при очень низких частотах (звуковой диапазон). Плоские квантовые емкость и индуктивность здесь имели толщину порядка Комптоновской длины волны электрона, а характеристический импеданс контура линейно стремился к волновому импедансу вакуума. А тремя годами позже, Деворет (1997) представил полную теорию квантового зарядового осциллятора, применительно к переходу Джозефсона. Возможные применения квантовых LC контуров и резонаторов при квантовых вычислениях рассмотрены Деворетом (2004) .

Классический электромагнитный резонатор

В общем случае классический электромагнитный резонатор (КлЭР) является полостью в 3D-пространстве. Поэтому КлЭР имеет бесконечное число резонансных частот, обусловленных тремя измерениями. Например, прямоугольный резонатор имеет следующие частоты:

$\omega_{mnp} = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \epsilon \mu_0 \mu}}\sqrt{(\frac{m\pi}{a})^2 + (\frac{n\pi}{b})^2 + (\frac{p\pi}{l})^2}, \$

где n, m, p - целые числа; $a, b, l - \$ - ширина, толщина и длина, соответственно, $\epsilon_0- \$ диэлектрическая постоянная, $\epsilon- \$ относительная проницаемость, $\mu_0 - \$ магнитная постоянная, $\mu - \$ относительноя восприимчивость. В противоположность классическому LC контуру, здесь и электрическое, и магнитное поля размещены в одном и том же объеме КлЭР. Эти осциллирующие электромагнитные поля подобны стоячим волнам, которые формируют электромагнитные волны, которые могут быть излучены в окружающее пространство. Сегодня КлЭР широко используются в радиочастотном диапазоне волн (сантиметровом и дециметровом). Более того, КлЭР также используются в квантовой электронике, которая имеет дело с монохроматическими волнами.

Общий квантовой подход

Осциллятор на квантовом LC контуре

В классической физике мы имеем следующее соответствие между механическими и электродинамическими физическими параметрами: магнитная индуктивность и механическая масса:

$L \leftrightarrow m \$;

электрическая емкость и обратная эластичность:

$C \leftrightarrow 1/k \$;

Электрический заряд и пространственное смещение:

$q \leftrightarrow x \$.

Квантовый оператор индуктивного момента в пространстве электрических зарядов может быть представлен в следующей форме:

$\hat p_{Lq} = -i\hbar \frac{d}{dq}, \quad \quad \quad \quad \quad \hat p_{Lq}^* = i\hbar \frac{d}{dq},\quad \quad \quad \quad \quad (1a) \$

где $\hbar- \$ - приведенная постоянная Планка, $\hat p_L^*- \$ - комплексно-сопряженный оператор момента. Квантовый опенратор емкостного момента в пространстве магнитных зарядов может быть представлен в следующей форме:

$\hat p_{C\phi} = -i\hbar \frac{d}{d\phi}, \quad \quad \quad \quad \quad \hat p_{C\phi}^* = i\hbar \frac{d}{d\phi},\quad \quad \quad \quad \quad (1b) \$

где $\phi \$ - индуцированный магнитный заряд. Учитывая тот факт, что свободные магнитные заряды не существуют, но они могут быть иммитированы электрическим током ($i\$):

$\phi = L\cdot i, \$

Мы можем ввести третий квантовый оператор моента в токовом виде:

$\hat p_{Ci} = -\frac{i\hbar}{L} \frac{d}{di}, \quad \quad \quad \quad \quad \hat p_{Ci}^* = \frac{i\hbar}{L} \frac{d}{di},\quad \quad \quad \quad \quad (1c) \$

Все эти квантовые операторы момента определяют следующие операторы Гамильтона:

$\hat H_{Lq} = -\frac{\hbar^2}{2L}\cdot \frac{d^2}{dq^2} + \frac{L\omega_0^2}{2}\hat q^2 \quad \quad \quad \quad \quad (2a) \$

$\hat H_{C\phi} = -\frac{\hbar^2}{2C}\cdot \frac{d^2}{d\phi^2} + \frac{C\omega_0^2}{2}\hat \phi^2 \quad \quad \quad \quad \quad (2b) \$

$\hat H_{Ci} = -\frac{\hbar^2\omega_0^2}{2L}\cdot \frac{d^2}{di^2} + \frac{L\omega_0}{2}\hat i^2, \quad \quad \quad \quad \quad (2c) \$

где $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}} \$ - резонансная частота. Мы будем рассматривать случай отсутствия диссипации ($R = 0 \$). Единственным отличием зарядового пространства и токового пространства от традиционного 3D- координатного пространства состоит в том, что они одномерны (1D). Уравнение Шредингера для квантового LC контура может быть определено в следующих видах:

$-\frac{\hbar^2}{2L}\frac{d^2 \Psi}{dq^2} + \frac{L\omega_0^2}{2}q^2\Psi = W\Psi \quad \quad \quad \quad \quad (3a) \$

$-\frac{\hbar^2}{2C}\frac{d^2 \Psi}{d\phi^2} + \frac{C\omega_0^2}{2}\phi^2\Psi = W\Psi \quad \quad \quad \quad \quad (3b) \$

$-\frac{\hbar^2\omega_0^2}{2L}\frac{d^2 \Psi}{di^2} + \frac{L\omega_0}{2}i^2\Psi = W\Psi. \quad \quad \quad \quad \quad (3c) \$

Разрешить эти уравнения возможно путем введения следующих безразмерных масштабных параметров:

$\xi_q = \frac{q}{q_0}; \quad \quad q_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{L\omega_0}}; \quad \quad \lambda_q = \frac{2W}{\hbar\omega_0} \quad \quad (4a) \$

$\xi_{\phi} = \frac{\phi}{\phi_0}; \quad \quad \phi_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{C\omega_0}}; \quad \quad \lambda_{\phi} = \frac{2W}{\hbar\omega_0} \quad \quad (4a) \$

$\xi_i = \frac{i}{i_0}; \quad \quad i_0 = \sqrt{\frac{\hbar \omega_0}{L}}; \quad \quad \lambda_i = \frac{2W}{\hbar\omega_0}. \quad \quad (4a) \$

где $q_0 \$ - масштабный "индуцированный электрический заряд»; $\phi_0 \$ - масштабный "индуцированный магнитный заряд»; $i_0 \$ - масштабный «индуцированный электрический ток»; Тогда уравнение Шредингера принимает форму дифференциального уравнения Чебышева-Эрмита:

$(\frac{d^2}{d\xi^2} + \lambda - \xi^2)\Psi = 0. \$

Собственные значения оператора Гамильтона здесь будут:

$W_n = \hbar \omega_0(n + 1/2), \$

Где при $n = 0 \$ мы будем иметь нулевые осцилляции:

$W_0 = \hbar \omega_0/2. \$

В общем случае масштабные заряды могут быть переписаны в форме:

$q_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{L\omega_0}} = \frac{q}{\sqrt{4\pi \alpha }} \$

$\phi_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{C\omega_0}} = \sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}\cdot \frac{h}{e}, \$

где $\alpha - \$ - постоянная тонкой структуры. Более того, масштабный ток и напряжение будет здесь:

$I_0 = \frac{\phi_0}{L} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\cdot \frac{ec}{\lambda_0} \$

$V_0 = \frac{q_0}{C} = \sqrt{4\pi \alpha}\cdot \frac{ch}{e\lambda_0}, \$

где $\lambda_0 = \frac{h}{m_0c}$ - длина волны частицы. Следует отметь, что эти масштабные параметры были получены при учете следующитх характеристических параметров резонатора:

$\rho_0 = 2\alpha R_H \quad \quad (5a) \$

Для характеристического импеданса, и

$\omega_0 = \frac{2\pi c}{\lambda_0} \quad \quad (5b) \$

Для резонансной частоты. Эти три уравнения (3) формируют базу для нерелятивистской квантовой электродинамики, которая рассматривает элементарные частицы с внутренней точки зрения. Следует отметить, что стандартная квантовая электродинамика рассматриваает элементарные частицы с внешней точки зрения.

Электрон как квантовый осциллятор

Предположим что электрон имеет массу покоя полностью определяемую квантовыми осцилляциями. Тогда его масса будет эквивалентна нулевым осцилляциям квантовой LC цепи:

$0.5\hbar \omega_0 = m_0c^2. \$

Таким образом, осцилляционная длина здесь будет:

$x_0 = \frac{\lambda_0}{2\pi\sqrt{2n}}, \$

где $\lambda_0 - \$ - Комптоновская длина волны электрона. Далее, рассмотрим что его масса равномерно распределена на сфере:

$S_0 = 4\pi x_0^2 = \lambda_0^2/2\pi. \$.

Тогда мы можем найти плотность состояний для этой массы:

$D_0 = \frac{1}{S_0}\frac{1}{m_0c^2} = \frac{m_0}{2\pi \hbar^2}. \$

Таким образом, представление электронной массы в виде нулевых осцилляций гармонического осциллятора приводит к равномерному распределению ее на сфере радиуса $\lambda_0 /2\pi \sqrt{2}$.

Фотон как квантовый осциллятор

Как известно, импульс фотона определяется как:

$p_p = \frac{\hbar \omega_p}{c}, \$

где $c - \$ - скоростиь света. Поэтому «эффективная масса фотона» может быть определена как:

$m_p = \frac{\hbar \omega_p}{c^2}. \$

Тогда масштабный параметр длины гармонического осциллятора будет:

$x_0 = \sqrt{\frac{\hbar}{m_p\omega_p}} = \frac{\lambda_p}{2\pi}, \$

где $\lambda_p = \frac{2\pi c}{\omega_p}- \$ - длина волны фотона.

Резонатор как квантовый LC контур

В приближении плотности состояний Лурия квантовая емкость определяется как:

$C_{QR} = q_R^2\cdot D_{2D}\cdot S_R, \$

а квантовая индуктивность:

$L_{QR} = \phi_R^2\cdot D_{2D}\cdot S_R, \$

где $S_R - \$ - площадь поверхности резонатора, $D_{2D} = \frac{m}{\pi \hbar^2} - \$ - двухмерная (2D) плотность состояний, $q_R - \$ - электрический заряд (или поток), и $\phi_R - \$ - магнитный заряд (или поток). Следует отметить, что эти потоки должны быть определены впоследствии.

Энергия, накапливаемая на квантовой емкости:

$W_{CR} = \frac{q_R^2}{2D_{2D}S_R}. \$

Энергия, накапливаемая на квантовой индуктивности:

$W_{LR} = \frac{\phi_R^2}{2D_{2D}S_R} = W_{CR}. \$

Резонансная частота:

$\omega_{QR} = \frac{1}{\sqrt{L_{QR}C_{QR}}} = \frac{1}{q_R\phi_RD_{2D}S_R}. \$

Закон сохранения энергии:

$W_{QR} = \hbar \omega_R = \frac{1}{q_R\phi_RD_{2D}S_R} = W_{CR} = W_{LR}. \$

Это уравнение может быть переписано как:

$q_R\phi_R = \hbar, \$

Из которого следует, что эти «заряды» являются «потоками», а не металлургическими зарядами.

Характеристический импеданс резонатора:

$\rho_{QR} = \sqrt{\frac{L_{QR}}{C_{QR}}} = \frac{\phi_R}{q_R} = \begin{cases} 2\frac{\phi_0}{e}=2R_H, & \mbox{for QHE } \\ 2\alpha \frac{\phi_0}{e}=2\alpha R_H, & \mbox{for other } \end{cases} \$

где $\phi_0 = h/e - \$ - квант магнитного потока. Учитывая вышеприведенные уравнения, можно найти следующие значения электрического и магнитного потоков:

$q_R = \begin{cases} q_{R1} = \frac{e}{\sqrt{2\pi}}, & \mbox{for QHE } \\ q_{R2} = \frac{e}{\sqrt{2\pi \alpha}}, & \mbox{for other } \end{cases} \$

$\phi_R = \begin{cases} \phi_{R1} = \frac{\phi_0}{\sqrt{\frac{2}{\pi}}}, & \mbox{for QHE } \\ \phi_{R2} = \frac{\phi_0}{\sqrt{\frac{2\alpha}{\pi}}}, & \mbox{for other } \end{cases} \$

Следует отметить, что эти величины не являются реальными «металлургическими зарядами», а только максимальными потоками, которые поддерживают баланс энергии энергией осцилляций резонатора и полной энергией на емкости и индуктивности:

$\hbar \omega_{QR} = W_{QL}(t) + W_{QC}(t). \$

Поскольку осцилляции на емкости фазово-сдвинуты ($\psi = \pi /2 \$) по отношению к осцилляциям на индуктивности, поэтому мы получаем:

$W_{QL} = \begin{cases} 0, & \mbox{at }t=0; \psi=0\mbox{ and} t=\frac{T_{QR}}{2};\psi=\pi \\ W_{QL}, & \mbox{at }t=\frac{T_{QR}}{4};\psi=\frac{\pi}{4} \mbox{ and}t=\frac{3T_{QR}}{4};\psi=\frac{3\pi}{4} \end{cases} \$

$W_{QC} = \begin{cases} W_{QC}, & \mbox{at }t=0; \psi=0\mbox{ and} t=\frac{T_{QR}}{2};\psi=\pi \\ 0, & \mbox{at }t=\frac{T_{QR}}{4};\psi=\frac{\pi}{4} \mbox{ and}t=\frac{3T_{QR}}{4};\psi=\frac{3\pi}{4} \end{cases} \$

где $T_{QR} = \frac{2\pi}{\omega_{QR}}- \$ - период осцилляций.

Электромагнитный резонатор Де Бройля

Волны материи Де Бройля Могут быть рассмотрены для обоих типов зарядов: электрических и магнитных. Действительно, используя подход Де Бройля в форме Блохинцева можно получить квантовый резонатор (или зарядовый пузырь Де Бройля).

Электрический заряд Де Бройля

Электрический заряд в волне материи Де Бройля может быть представлен следующей волновой функцией:

$\Psi(q_E,t) = A_E exp [i(\frac{\phi_Mq_E}{\hbar} - \frac{W_Lt}{\hbar})] = A_E exp [i(\gamma_E)] \$

где

$W_L = \hbar \omega_L \$

$\phi_M = \hbar k_E, \$

а также $k_E = \frac{2\pi}{q_{\lambda}}$ - электрический зарядовый «волновой вектор» и $q_{\lambda}$ - электрическая зарядовая "длина волны". Фазовая функция

$\gamma_E = k_Eq_E - \omega_Lt \$

Имеет дифференциал

$d\gamma_E = k_Edq_E - \omega_Ldt = 0. \$

Таким образом, фазовый ток будет:

$i_{ph} = \frac{dq_E}{dt} = \frac{\omega_L}{k_E} \$

Рассматривая волновую энергию в форме:

$W_L = \frac{\phi_M^2}{2L} = \frac{\hbar^2k_E^2}{2L} = \hbar \omega_L, \$

где $L \$ - квантовая индуктивность Де Бройля, и частота

$\omega_L = \frac{\hbar k_E^2}{2L} \$

«Групповой ток» скорость Де Бройля будет:

$i_g = \frac{d\omega_L}{dk_E} = \frac{\hbar k_E}{L}. \$

С другой стороны мы имеем следующую границу для группового тока:

$i_g = \frac{ec}{\lambda}. \$

Приравнивая групповые токи, можно найти квантовую индуктивность Де Бройля в явном виде:

$L = \frac{h}{eq_{\lambda}}\cdot \frac{\lambda}{c}. \$

Магнитный заряд Де Бройля

Магнитный заряд в волне материи Де Бройля может быть представлен следующей волновой функцией:

$\Psi(q_M,t) = A_M exp [i(\frac{\phi_Eq_M}{\hbar} - \frac{W_Ct}{\hbar})] = A_M exp [i(\gamma_M)] \$

где

$W_C = \hbar \omega_C \$

$\phi_E = \hbar k_M, \$

а также $k_M = \frac{2\pi}{q_{M\lambda}}$ - магнитный зарядовый «волновой вектор» и $q_{M\lambda}$ - магнитная зарядовая «длина волны». Фазовая функция:

$\gamma_M = k_Mq_M - \omega_Ct \$

Имеет дифференциал

$d\gamma_M = k_Mdq_M - \omega_Cdt = 0. \$

Поэтому фазовое напряжение будет:

$v_{ph} = \frac{dq_M}{dt} = \frac{\omega_C}{k_M} \$

Рассматривая волновую энергию в форме:

$W_C = \frac{\phi_E^2}{2C} = \frac{\hbar^2k_M^2}{2C} = \hbar \omega_C, \$

где $C\$ - квантовая емкость Де Бройля, и частота

$\omega_C = \frac{\hbar k_M^2}{2C} \$

«Групповое напряжение» Де Бройля будет:

$v_g = \frac{d\omega_C}{dk_M} = \frac{\hbar k_M}{C}. \$

С другой стороны мы имеем следующее предельное значение для группового напряжения:

$v_g = \frac{hc}{e}\cdot \frac{1}{\lambda}. \$

Приравнивая групповые напряжения, можно получить емкость Де Бройля в явном виде:

$C = \frac{e}{q_{M\lambda}}\cdot \frac{\lambda}{c}. \$

LC контур Де Бройля

Следует отметить, что используя раздельно электрический и магнитный подходы Де Бройля, мы должны также использовать приближение «волны-пилота» для поддержания электрических и магнитных зарядов в обпределенном объеме. Однако, когда рассмотреть композитную волновую функцию Де Бройля в виде:

$\Psi(q_M,t) = A_MA_E exp [i(\frac{\phi_Mq_E}{\hbar} - \frac{W_Lt}{\hbar})] exp [i(\frac{\phi_Eq_M}{\hbar} - \frac{W_Ct}{\hbar})] \$

где

$W_C = \hbar \omega_C = W_L = \hbar \omega_L \$

$\phi_E = \hbar k_M, \$

$\phi_M = \hbar k_E, \$

Тогда раздельные электрические и магнитные заряды формируют композитный квантовый резонатор. Поскольку эта частица Де Бройля должна быть совместимой с квантовым резонатором, поэтому необходимо согласовать электрические и магнитные заряды индуцируемые в LC контуре:

$q_{\lambda} = \gamma_q e \$

$q_{M\lambda} = \gamma_{\phi} \frac{h}{e}. \$

Реактивные параметры в этом случае будут:

$L(\lambda) = \frac{R_H}{\gamma_q}\cdot \frac{\lambda}{c} \$

$C(\lambda) = \frac{1}{\gamma_{\phi}R_H}\cdot \frac{\lambda}{c}. \$

Характеристический импеданс для резонатора заряженной частицы Де Бройля:

$\rho_{\lambda} = \sqrt{\frac{L(\lambda)}{C(\lambda)}} = R_H\sqrt{\frac{\gamma_{\phi}}{\gamma_q}} = 2\alpha R_H. \$

Резонансная частота для резонатора заряженной частицы Де Бройля:

$\omega(\lambda) = \frac{1}{\sqrt{L(\lambda)C(\lambda)}} = \frac{c}{\lambda}\sqrt{\gamma_{\phi}\gamma_q} = \frac{2\pi c}{\lambda}. \$

Таким образом, мы имеем следующую алгебраическую систему уравнений:

$\sqrt{\gamma_{\phi}\gamma_q} = 2\pi \$

$\sqrt{\frac{\gamma_{\phi}}{\gamma_q}} = 2\alpha. \$

Решение этой системы имеет вид:

$\gamma_q = \frac{\pi}{\alpha} \quad \quad \gamma_{\phi} = 4\pi \alpha \$

Тогда индуцированные электрические и магнитные заряды будут:

$q_{\lambda} = \gamma_q e \ = \frac{\pi}{\alpha}\cdot e \$

$q_{M\lambda} = \gamma_{\phi} \frac{h}{e} = 4\pi \alpha \cdot \frac{h}{e}, \$

А реактивные параметры:

$L(\lambda) = \frac{\alpha R_H}{\pi}\cdot \frac{\lambda}{c} \$

$C(\lambda) = \frac{1}{4\pi \alpha R_H}\cdot \frac{\lambda}{c}. \$

Таким образом, квантовые осцилляции электрических и магнитных зарядов деляют заряженную частицу Де Бройля стабильной (расплывание отсутствует).

Применения

Резонатор атома Бора

Общая информация об атоме Бора. Боровский радиус электрона:

$a_B = \frac{\lambda_0}{2\pi \alpha}, \$

где $\alpha - \$ - электрическая постоянная тонкой структуры, $\lambda_0 - \$ - Комптоновская длина волны электрона.

Площадь поверхности атома Бора:

$S_B = 4\pi a_B^2. \$

Боровская угловая частота:

$\omega_B = \frac{\hbar}{2ma_B^2}, \$

где $\hbar- \$ - приведенная постоянная Планка и $m - \$ - масса электрона.

Боровская плотность состояний:

$D_B = \frac{1}{\hbar \omega_B S_B} = \frac{m}{2\pi \hbar^2}. \$

Стандартный подход плотности состояний дает следующие значения для реактивных параметров Бора:

$C_{QRB} = q_{R2}^2D_BS_B = \frac{e^2}{4\pi \alpha}\frac{m}{2\pi \hbar^2}S_B = \frac{\epsilon_0}{\lambda_0}S_B \$

$L_{QRB} = \phi_{R2}^2D_BS_B = \frac{\alpha \phi_0^2m}{2\pi^2 \hbar^2}S_B = \frac{\mu_0}{\lambda_0}S_B, \$

где $\beta = \frac{\phi_0^2}{2\mu_0hc} = \frac{1}{4\alpha} - \$ учтено.

Таким образом, «атом Бора» может быть рассмотрен как сферический резонатор радиуса $a_B \$ и толщины $\lambda_0 \$.

Электронный резонатор

Радиус электрона:

$r_e = \frac{\lambda_0}{2\pi \sqrt{2}}. \$

Параметр поверхности электрона:

$S_e = 4\pi r_e^2 = \frac{\lambda_0^2}{2\pi}. \$

Угловая частота электрона:

$\omega_e = \frac{mc^2}{\hbar} = \frac{2\pi c}{\lambda_0}, \$

где $c - \$ - скорость света. Электронная плотность состояний:

$D_e = \frac{1}{S_eW_e} = \frac{m}{2\pi \hbar^2}. \$

Стандартный подход плотности состояний дает следующие значения для реактивных параметров электрона:

$C_{QRe} = q_{R2}^2D_eS_e = \frac{e^2}{4\pi \alpha}\frac{m}{2\pi \hbar^2}S_e = \frac{\epsilon_0}{\lambda_0}S_e \$

$L_{QRe} = \phi_{R2}^2D_eS_e = \frac{\alpha \phi_0^2m}{2\pi^2 \hbar^2}S_e = \frac{\mu_0}{\lambda_0}S_e. \$

Таким образом, «свободный электрон» может быть рассмотрен как сферический резонатор радиуса $r_e \$ и толщины $\lambda_0 \$.

Фотонный резонатор

Радиус фотона:

$r_p = \frac{\lambda_p}{2\pi}. \$

Параметр поверхности фотона:

$S_p = 4\pi r_p^2 = \frac{\lambda_p^2}{\pi}. \$

Угловая частота фотона:

$\omega_p = \frac{2\pi c}{\lambda_p}. \$

Фотонная плотность состояний:

$D_p = \frac{1}{S_pW_p} = \frac{\pi}{\lambda_phc}. \$

Стандартный подход плотности состояний дает следующие значения для реактивных параметров фотона:

$C_{QRp} = q_{R2}^2D_pS_p = \frac{e^2}{4\pi \alpha}\frac{\pi}{\lambda_phc}S_e = \frac{\epsilon_0}{2\lambda_p}S_p \$

$L_{QRp} = \phi_{R2}^2D_pS_p = \frac{\alpha}{\pi}\frac{\phi_0^2}{2\mu_0hc}\frac{2\pi \mu_0}{\lambda_p}S_p = \frac{\mu_0}{2\lambda_p}S_e. \$

Таким образом, «свободный фотон» может быть рассмотрен как сферический резонатор радиуса $r_p \$ и толщины $2\lambda_p \$.

Резонатор квантового эффекта Холла

Общая информация про эффект Холла. Циклотронная частота:

$\omega_c = \frac{eB}{m}, \$

где $e - \$ - заряд электрона, $B - \$ - индукция магнитного поля и $m - \$ - эффективная масса электрона в твердом теле.

Магнитная длина:

$l_B = \sqrt{\frac{\hbar}{eB}}, \$

Масштабный параметр площади:

$S_H = 2\pi l_B^2 = \frac{h}{eB} = \frac{1}{n_H}, \$

где $n_H - \$ - поверхностная плотность электронов.

Плотность состояний:

$D_H = \frac{n_H}{\hbar \omega_c} = \frac{m}{2\pi \hbar^2}. \$

Квантовая емкость плотности состояний:

$C_H = q_H^2 \cdot D_{2D}\cdot S_H = \frac{e^2m}{2h^2}S_H = \alpha \frac{\epsilon_0}{\lambda_0}S_H \$

или в другой форме:

$C_H = \frac{\epsilon_0}{d_C}S_H, \$

где $d_C = \frac{\lambda_0}{\alpha}- \$ - толщина емкости.

Квантовая индуктивность плотности состояний:

$L_H = \phi_H^2 \cdot D_{2D}\cdot S_H = \frac{\phi_0^2m}{h^2}S_H = 4\beta \frac{\mu_0}{\lambda_0}S_H \$

или в другой форме:

$L_H = \frac{\mu_0}{d_L}S_H, \$

где $d_L = \frac{\lambda_0}{4\beta} = \alpha \lambda_0- \$ толщина индуктивности.

Такитм образом резонатор квантового эффекта Холла имеет цилиндрическую форму с радиусом $l_B \$ и двумя разными толщинами для емкости $d_C \$ и индуктивности $d_L \$.

Резонатор на «плоском атоме»

Резонасный контур, образованный на поверхности кремниевых МДП-транзисторов при низкочастотном резонансе открытом Якимахой (1994) имеет следующие мезоскопические параметры:

$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L_0C_0} } = 5088 rad/s \$

для угловой частоты,

$S_0 = \frac{h}{m\omega_0} = 1.4196\cdot 10^{-7} m^2 \$

для масштаба кванта поверхности,

$C_0 = \frac{1}{\omega_0\rho_0} = 5.1805\cdot 10^{-7} F \$

для квантовой емкости, и

$L_0 = \frac{\rho_0}{\omega_0} = 7.3524 \cdot 10^{-2} H \$

Для квантовой индуктивности. Плотность поверхностных состояний здесь будет:

$D_0 = \frac{1}{\hbar \omega_0 S_0} = \frac{m}{2\pi \hbar^2}. \$

Емкость квантового резонатора:

$C_{QR0} = q_{R2}^2D_0S_0 = \frac{\epsilon_0}{\lambda_0}S_0. \$

Индуктивность квантового резонатора:

$L_{QR0} = \phi_{R2}^2D_0S_0 = \frac{\mu_0}{\lambda_0}S_0. \$

Следует отметить, что даже на мезоскопическом масштабе мы имеем толщину реактивных параметров, порядка Комптоновской длины волны электрона.

Смотри также

• Резонатор
• Квантовая емкость
• Квантовая индуктивность

Литература

• Stratton J.A.(1941). Electromagnetic Theory. New York, London: McGraw-Hill.p.615. djvu
• Детлаф А.А., Яворский Б.М., Милковская Л.Б.(1977). Курс физики. Том 2. Электричество и магнетизм (4-е издание). М.: Высшая школа, "Reference Book on Electricity" djvu
• Гольдштейн Л.Д., Зернов Н.В. (1971). Электромагнитные поля. 2- издание. Москва: Советское Радио. 664с. "Electromagnetic Fields" djvu
• Boris Ya. Zel’dovich. Impedance and parametric excitation of oscillators. UFN, 2008, v. 178, No 5 PDF

Внешние источники

• Quantum Optics with Electrical Circuits
• Quantum Signals and Circuits