ФЭНДОМ


Coord system CA 0

Каждая точка в трехмерном евклидовом пространстве определяется тремя координатами.

Евкли́дово простра́нство (также Эвкли́дово простра́нство) (в математике), пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность равную 3.[1]

В более общем смысле Евкли́дово простра́нство называется n-мepное векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные координаты (декартовы) так, что метрика его будет определена следующим образом: если точка М имеет координаты (х1, х2,..., xn), а точка М* — координаты (y1*, y2*,..., yn*), то расстояние между этими точками:

$ \rho(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} $,

где $ x=(x_1,x_2,\dots, x_n) $ и $ y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n $.[2]

В современном понимании, в более общем смысле, оно может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов, определённых ниже. Обычно $ n $-мерное евклидово пространство обозначается $ \mathbb E^n $, хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение $ \mathbb R^n $.

1. Конечномерное гильбертово пространство, то есть конечномерное вещественное векторное пространство $ \mathbb R^n $ с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

$ \|x\|=\sqrt{\langle x, x \rangle} $,

в простейшем случае (евклидова норма):

$ \|x\|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} $

где $ x=(x_1,x_2,\dots, x_n) $ (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

2. Метрическое пространство, соответствующее пространству описанному выше. То есть $ \mathbb R^n $ с метрикой, введённой по формуле:

$ \rho(x,y)=\|x-y\|=\sqrt{(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{k=1}^n (x_k-y_k)^2} $,

где $ x=(x_1,x_2,\dots, x_n) $ и $ y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n $.

3. Вообще любое предгильбертово пространство (пространство со скалярным произведением $ \langle x, x \rangle $).

Связанные определения Править

  • Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
  • Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
  • Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Вариации и обобщения Править

См. также Править

ПримечанияПравить