Wikia

Наука

Графен

Обсуждение2
14 903статьи на этой вики
Графен
Intercalactionrp2
Структура
Кристаллическая структура Гексагональная решётка

[1]

Постоянная решётки 0,246 нм[1]
Электронные свойства
Эффективная масса электронов 0 me[2]
Эффективная масса дырок 0 me[2]
Зонная структура
Ширина запрещённой зоны 0 эВ[1]

Кристаллическая структура графена представляет собой гексогональную кристаллическую решётку. Графе́н (англ. graphene) — слой атомов углерода, соединённых посредством sp² связей в гексагональную двумерную кристаллическую решётку и одна из аллотропных форм углерода.

Его можно представить как одну плоскость графита, отделённую от объёмного кристалла. По оценкам графен обладает большой механической жесткостью и хорошей теплопроводностью (~1 ТПа и 3×103 Вт2м-1K-1 соответственно [3]). Хорошая электрическая проводимость делает его перспективным материалом для использования в самых различных приложениях, в частности, как будущую основу наноэлектроники [4]. В настоящее время существует несколько способов получения графена. Основной способ получения [2][5] — механическое отщепление слоёв графита или отшелушивание не предполагает использования масштабного производства, поскольку это ручная процедура, другой известный способ — метод термического разложения подложки карбида кремния [6][7] гораздо ближе к промышленному производству.

Данный материал не является просто кусочком других аллотропных модификаций углерода: угля, графита, или алмаза — из-за особенностей энергетического спектра носителей он проявляет специфические [8], в отличие от других двумерных систем, электрофизические свойства. Поскольку графен впервые [2] был получен только в 2004 году, он ещё недостаточно хорошо изучен и привлекает к себе повышенный интерес.[9]



История открытия Править

Graphene xyz

Однослойный графен

Графен является двумерным кристаллом, состоящим из одиночного слоя атомов углерода, собранных в гексагональную решётку. Его теоретическое исследование началось задолго до получения реальных образцов материала, поскольку из графена можно собрать трёхмерный кристалл графита. Графен является базой для построение теории этого трёхмерного кристалла. Графит является полуметаллом, и как было показано [1] в 1947 году П. Воллесом в зонной структуре графена также отсутствует запрещённая зона. Причём в точках соприкосновения валентной зоны и зоны проводимости энергетический спектр электронов и дырок линеен как функция волнового вектора. Такого рода спектром обладают безмассовые фотоны и ультрарелятивистские частицы. Поэтому говорят, что эффективная масса электронов и дырок в графене вблизи точки соприкосновения зон равна нулю. Но здесь стоит заметить, что несмотря на сходство фотонов и безмассовых носителей в графене существует несколько существенных различий, делающих носители в графене уникальными по своей физической природе, а именно: электроны и дырки являются фермионами и они заряжены. В настоящее время, аналогов для этих безмассовых заряженных фермионов среди известных элементарных частиц нет.

Несмотря на такие специфические особенности экспериментального подтверждения эти выводы не получили до 2005 года [8], вследствие отсутствия материала исследований. Кроме того, ещё раньше было доказано теоретически, что свободную идеальную двумерную плёнку получить невозможно из-за нестабильности относительно сворачивания или скручивания [10]. Тепловые флуктуации приводят к плавлению двумерного кристалла при любой конечной температуре.

Интерес к графену проснулся после открытия углеродных нанотрубок, поскольку вся первоначальная теория строилась на простой модели нанотрубки как развёртки цилиндра. Поэтому теория для графена в приложении к нанотрубкам хорошо проработана.

Попытки получения графена, прикреплённого к другому материалу начались с экспериментов по использованию простого карандаша и продолжились с использованием атомно-силового микроскопа [11] для механического удаления слоёв графита, но не достигли успеха. Также использование графита с внедрёнными (интеркалированный графит) в межплоскостное пространство чужеродными атомами (используется для расщепления слоёв) не привели к результату.

В 2004 году была опубликована работа в журнале Science [2], где сообщалось о получении графена на подложке окисленного кремния. Таким образом, стабилизация двумерной плёнки достигалась благодаря наличию связи с тонким слоем диэлектрика SiO2. Впервые были измерены проводимость, эффект Шубникова-де Гааза, эффект Холла для образцов, состоящих из плёнок углерода с атомарной толщиной.

Метод отшелушивания является довольно простым и гибким, поскольку позволяет работать со всеми слоистыми кристаллами, т. е. теми материалами, которые представляются как слабо (по сравнению с силами в плоскости) связанные слои двумерных кристаллов. В последующей работе [5] авторы показали, что его можно использовать для получения других двумерных кристаллов: BN, MoS2, NbSe2, Bi2Sr2CaCu2Ox.

Графен
\hat{H}=-i\hbar v_F\sigma\cdot\nabla
Уравнение Дирака (графен)
Введение ...
Матем. формулировка ...
Основа
Квантовая механика · Уравнение Дирака
Нейтрино · (2+1)-мерная КЭД · Постоянная тонкой структуры · Фаза Берри · Углеродные нанотрубки
Фундаментальные понятия
Зонная структура · Уравнение Дирака · Киральность · Гексагональная решётка · Волновая функция · Точка электронейтральности · Видимость графена · Фаза Берри
Получение и технология
Получение графена · Механическое отшелушивание · Химическое расщепление графита · Рост графеновых плёнок · Подвешенный графен · Верхний затвор
Применения
Графеновый полевой транзистор
Графеновые наноленты
Транспортные свойства
Электроны и дырки · Проводимость · Фононы · Парадокс Клейна · Линза Веселаго · 1/f · Дробовой шум
Случайный телеграфный сигнал · p — n переход · Ферми жидкость
Магнитное поле
Магнетосопротивление · Осцилляции Шубникова — деГааза · КЭХ · Спиновый квантовый эффект Холла · ДКЭХ · Осцилляции Вейса · Магнетоэкситоны · Сверхпроводимость · Слабая локализация · Эффект Ааронова — Бома
Оптика графена
Рамановское рассеяние света
Известные учёные
Андре Гейм

Получение Править

Intercalactionrp

Рис. 2. Слои графита можно легко отделить друг от друга и поместить на одну плоскость

Кусочки графена можно получить при механическом воздействии на пиролитический графит. Сначала тонкие слои графита помещают между липкими лентами и отщепляют раз за разом тонкие слои графита, пока не получен достаточно тонкий слой (среди многих плёнок могут попадаться и однослойные, которые и представляют интерес). После отшелушивания плёнку графена помещают на подложку окисленного кремния. При этом трудно получить плёнку определённого размера и формы в фиксированных частях подложки (горизонтальные размеры плёнок составляют обычно около 10 мкм). Найденные с помощью оптического микроскопа (они слабо видны при толщине диэлектрика 30 нм), подготавливают для измерений. С помощью атомно-силового микроскопа можно определить реальную толщину плёнки графита. Используя электронную литографию можно задать форму плёнки для электрофизических измерений (холловский мост для магнитотранспортных измерений).

Кусочки графена также можно приготовить из графита использую химические методы [12]. Для начала микрокристаллы графита подвергаются действию смеси серной и соляной кислот. Графит окисляется, и на краях образца появляются карбоксильные группы графена. Их превращают в хлориды при помощи тионилхлорида. Затем, под действием октадециламина в растворах тетрагидрофурана, тетрахлорметана и дихлорэтана, они переходят в графеновые слои толщиной 0.54 нм. Этот химический метод не единственный и меняя органические растворители и химикаты можно получить нанометровые слои графита [13].

В статьях [14][3] описан ещё один химический метод получения графена встроенного в полимерную матрицу.

Существует также несколько сообщений [6][7] посвящённых получению графена, выращенного на SiC(0001) подложках. Графитовая плёнка формируется при термическом разложении поверхности подложки SiC (этот метод получения графена гораздо ближе к промышленному производству), причём качество выращенной плёнки зависит от того какая стабилизация у кристалла: C-стабилизированная или Si-стабилизированная поверхность — в первом случае качество плёнок выше. В работе [15] таже группа исследователей показала, что несмотря на то что толщина слоя графита составляла больше одного монослоя, но так как на границе SiC-C из-за разности работ выхода двух материалов образуется нескомпенсированный заряд, поэтому в проводимости участвует только один слой в непосредственной близости от подложки. Свойства такой плёнки оказались эквивалентны свойствам графена.

Дефекты Править

Идеальный графен состоит исключительно из шестиугольных ячеек. Присутствие пяти- и семиугольных ячеек будет приводить к различного рода дефектам.

Наличие пятиугольных ячеек приводит к сворачиванию атомной плоскости в конус. Присутствие одновременно 12 таких дефектов приведёт к образованию фуллерена. Присутствие семиугольных ячеек приводит к образованию седловидных искривлений атомной плоскости. Комбинация этих дефектов и нормальных ячеек может приводить к образованию различных форм поверхностей.

Возможные применения Править

Считается, что на основе графена можно сконструировать баллистический транзистор. В марте 2006 года группа исследователей из технологического института штата Джорджии заявили, что ими был получен полевой транзистор на графене, а также квантово-интерференционный прибор [16]. Исследователи полагают, что благодаря их достижениям в скором времени появится новый класс графеновой наноэлектроники с базовой толщиной транзисторов до 10 нм.

Использовать напрямую графен при создании полевого транзистора не представляется возможным благодаря отсутствию запрещённой зоны в этом материале, поскольку нельзя добиться существенной разности в сопротивлении при любых приложенных напряжениях к затвору, то есть не получается задать два состояния пригодных для двоичной логики: проводящее и непроводящее. Сначала нужно создать, каким-нибудь образом, запрещённую зону достаточной ширины при рабочей температуре (чтобы термически возбуждённые носители давали малый вклад в проводимость). Один из возможных способов предложен в работе [4]. В этой статье предлагается создать тонкие полоски графена, с такой шириной, что благодаря квантово-размерному эффекту ширина запрещённой зоны была достаточной для перехода в диэлектрическое состояние (закрытое состояние) прибора при комнатной температуре (28 мэВ соответстует ширине полоски 20 нм). Благодаря высокой подвижности (имеется в виду, что подвижность выше чем в кремнии, используемом в микроэлектронике) 104 В см-1с-1 быстродействие такого транзистора будет заметно выше.

Другая облась применения предложенная в статье [17] заключается в использовании графена в качестве очень чуствительного сенсора для обнаружения отдельных молекул химимческих веществ присоединённых к поверхности плёнки. Принцип действия этого сенсора заключается в том, что разные молекулы могут выступать как доноры и акцепторы, что в свою очередь ведёт к изменению сопротивления графена. В работе [18] теоретически исследуется влияние различных (тех же примесей, использованных в эксперименте) примесей на проводимость графена.

Физика Править

Физические свойства нового материала можно изучать как и подобных ему материалов. В настоящее время экспериментальное и теоретическое исследование графена сосредоточено на стандартных свойствах двумерных систем: проводимости, квантовом эффекте Холла, слабой локализации и других эффектах исследованных ранее в двумерном электронном газе.

Теория Править

В этом параграфе кратко описываются основные положения теорий, некоторые из которых получили экспериментальное подтверждение, а некоторые ещё ждут верификации.

Кристаллическая структура Править

Reshotka grafena

Рис. 3. Изображение гексагональной решётки графена. Жёлтым цветом показана элементарная ячейка, красным и зелёным цветами показаны узлы подрешёток кристалла. e1 и e2 — вектора трансляций

Кристаллическая структура материала находит отражение во всех его физических свойствах и поэтому начнём теоретическую часть с некоторых фактов из кристаллографии, которые впоследствии дадут нам возможность связать уникальные свойства графена с его зонной структурой.

Кристаллическая решётка графена (см. Рис. 3) представляет собой плоскость состоящую из шестиугольных ячеек, то есть является двумерной гексагональной кристаллической решёткой. Для такой решётки известно, что её обратная решётка тоже будет гексагональной. В элементарной ячейке кристалла находятся два атома, обозначенные A и B. Каждый из этих атомов при сдвиге на вектора трансляций (любой вектор вида \mathbf{r}_A=m\mathbf{e}_1+n\mathbf{e}_2, где m и n любые целые числа) образует подрешётку из эквавалентных ему атомов, то есть свойства кристалла независимы от точкек наблюдения, расположенных в эквивалентных узлах кристалла. На рисунке 3 представлены две подрешётки атомов, закрашеные разными цветами: зелёным и красным.

Расстояние между ближайшими атомами углерода в шестиугольниках, обозначенную a_0, составляет 0.142 нм. Постоянную решётки (обозначим её a) можно получить из простых геометрических соображений. Она равна a=\sqrt{3}a_0, то есть 0.246 нм. Определим за начало координат точку, соответствующую узлу кристаллической решётки (подрешётка A), из которой начинаются векторы трансляций: \mathbf{e}_1,\,\mathbf{e}_2 с длинной векторов равной a. Введём также двумерную декартову систему координат в плоскости графена с осью ординат направленную вверх, а ось абсцисс направленную по отрезку соединяющему соседние узлы A и B. Тогда координаты концов векторов трансляций, начинающихся из начала координат запишутся в виде [1]:

\mathbf{e}_1=[\sqrt{3}a/2,-a/2],\,\mathbf{e}_2=[0,a],\qquad(1.1)

а соответствующие им вектора обратной решётки:

\mathbf{g}_1=[2/(\sqrt{3}a),0],\,\mathbf{g}_2=[1/(\sqrt{3}a),1/a]\qquad(1.2)

(без множителя 2\pi). В декартовых координатах положение ближайших к узлу подрешётки A (все атомы которой на рисунке 3 показаны красным) в начале коордиинат, атомов из подрешётки B (показаны соответственно зелёным цветом) задаются в виде:

[a/\sqrt{3},0],\,[-a/(2\sqrt{3}),a/2],\,[-a/(2\sqrt{3}),-a/2].\qquad(1.3)

Зонная структура Править

Graphene Nearest Neighbors

Рис. 4: Ближайшие атомы в окружении центрального узла (A) решётки. Красная пунктирная окружность соответствует ближайшим соседям из тойже самой подрешётки кристалла (A), а зелёная окружность соответствует атомам из второй подрешётки кристала (B).

Зонная структура графена рассчитана в статье [1]. На внешней оболочке атома углерода находится 4 электрона, три из которых образуют sp2 гибридизированные связи с соседними атомами в решётки, а оставшийся электрон находится в 2pz состоянии (именно это состояние отвечает за образование межплоскостных связей в графите). В нашем рассмотрении он отвечает за образование энергетических зон графена. В приближении сильно связанных электронов полная волновая функция всех электронов кристалла запишется в виде суммы волновых функций электронов из разных подрешёток
\psi=\phi_1+\lambda\phi_2,\qquad(2.1)

где коэффициент λ — некий неизвестный (вариационный) параметр, который будет определён позже. Входящие в уравнение волновые функции \phi_1 и \phi_2 запишутся в виде суммы волновых функций отдельных электронов в различных подрешётках кристалла

\phi_1=\sum_Ae^{2\pi i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_A}X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A),\qquad(2.2)
\phi_2=\sum_Be^{2\pi i\mathbf{k}\cdot \mathbf{r}_B}X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B).\qquad(2.3)

Здесь \mathbf{r}_A и \mathbf{r}_B — радиус-векторы направленные на узлы кристаллической решётки, а X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A) и X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B) — волновые функции электронов, локализованных вблизи этих узлов. В приближении сильно связанных электронов мы можем пренебречь перекрытием волновых функций соседних атомов.

\int{X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A)X(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B)d\mathbf{r}}=0\qquad(2.4)

Теперь подставив в уравнение Шрёдингера H\psi=E\psi нашу волновую функцию (2.1) получим для энергетического спектра носителей и неизвестного параметра λ следующую систему уравнений

H_{11}+\lambda H_{12}=ES\qquad(2.5)
H_{21}+\lambda H_{22}=\lambda ES\qquad(2.6)

где используются следующие обозначения для интегралов

H_{jj}=\int\phi_j^{*}H\phi_jd\mathbf{r}\qquad(2.7)
H_{12}=H_{21}^{*}=\int\phi_1^{*}H\phi_2d\mathbf{r}\qquad(2.8)
S=\int\phi_j^{*}\phi_jd\mathbf{r}\qquad(2.9).

Которую можно решить относительно E.

E=\frac{1}{2S}\left(H_{11}+H_{22}\pm\sqrt{(H_{11}-H_{22})^2+4|H_{12}|^2}\right)\qquad(2.9)

Здесь можно сделаем некие упрожения

S=N,
H_{11}=H_{22},
H_{11}^{\,'}=H_{22}^{\,'}=\frac{1}{N}H_{11}=\frac{1}{N}H_{22},
H_{12}^{\,'}=\frac{1}{N}H_{12},\qquad(2.10)

где N — число элементарных ячеек в кристалле. С этими равенствами мы приходим к уравнению

E=H_{11}^{\,'}\pm|H_{12}^{\,'}|\qquad(2.11)

Это уравнение мы тоже упростим, избавившись от первого слагаемого, которое соответстует некой постоянной энергии и малому изменению энергии по сравнению со вторым членом, отвечающим интегралу перекрытия волновых функций соседних атомов из той же подрешётки (A). Другими словами — взаимодействию волновой функции центрального атома с волновыми функциями атомов, расположенных на зелёной окружности (см. Рис. 4). Нас будет интересовать только особенность спектра связанного со вторым слагаемым, которое зависит от интегралов перекрытия ближайших атомов из разных подрешёток (A) и (B) (центральный атом и атомов на зелёной окружности). Энергетический спектр запишется в виде

E=\pm|H_{12}^{\,'}|\qquad(2.12)

Интеграл перекрытия можно представить в виде

\gamma_0=-\int{X^{*}(\mathbf{r}-\mathbf{\rho})HX(\mathbf{r})d\mathbf{r}},\qquad(1.13)

где \mathbf{\rho} — радиус-вектор направленный в позиции ближайших соседей. Для величины H_{12}^{\,'} после подставления волновых функций (2.2) и (2.3) в выражение (2.8) получим

H_{12}^{\,'}=\frac{1}{N}\sum_{A,B}{\exp{[-2\pi i\mathbf{k}\cdot(\mathbf{r}_A-\mathbf{r}_B)]}\int{X^{*}(\mathbf{r}-\mathbf{r}_A)HX(\mathbf{r}-\mathbf{r}_B)d\mathbf{r}}}.\qquad(2.14)

Откуда после некоторых упрощений и используя координаты для ближайших соседей (1.3) получим

H_{12}^{\,'}=-\gamma_0\left(\exp{[-2i\pi k_x(a/\sqrt{3})]}+2\cos{\pi k_ya}\exp{[2i\pi k_x(a/\sqrt{3})]}\right).\qquad(2.15)

В итоге приходим к интересующему нас энергетическому спектру вида

E=\pm\sqrt{\gamma_0^2\left(1+4\cos^2{\pi k_ya}+4\cos{\pi k_ya}\cos{\pi k_x\sqrt{3}a}\right)},\qquad(2.16)

где знак «+» соответствует электронам, а «-» —дыркам.

Линейный закон дисперсии Править

Graphene Band Contour

Рис. 5. Изолинии постоянный энергии. Жирный чёрный шестиугольник — первая зона Бриллюэна. Показаны также красные окружности на краях первой зоны Бриллюэна, где закон дисперсии носителей линеен. K и K' обозначают две долины в k-пространстве с неэквивалентными волновыми векторами.

Вблизи точек соприкосновения валентной зоны и зоны проводимости из уравнения (2.16) следует, что закон дисперсии для носителей в графене представляется в виде:

E=\hbar v_Fk,\qquad(3.1)

где v_F — скорость Ферми (экспериментальное значение [8]  v_F =106 м/с), k — модуль волнового вектора в двумерном пространтстве с компонентами (k_x,\,k_y), \hbarпостоянная Планка. Здесь следует отметить, что такого рода спектром обладает фотон, поэтому говорят, что квазичастицы (электроны и дырки) в графене обладают нулевой эффективной массой. Здесь скорость Ферми v_F играет роль «эффективной» скорости света. Так как электроны и дырки — фермионы, то должны описываться уравнением Дирака, но с нулевой массой частиц и античастиц. Кроме того, так как графен двухдолинный полуметалл, то уравнение Дирака должно быть модифицировано для учёта электронов и дырок из разных долин (K, K'). В итоге мы получим восемь дифференциальных уравнений первого порядка, которые описывают частицы и античастицы (электроны и дырки), их проекции спинов (вверх и вниз), а также принадлежащие двум независимым долинам носители.

Линейный закон дисперсии приводит к линейной зависимости плотности состояний от энергии, в отличие от обычных двумерных систем с параболическим законом дисперсии, где плотность состояний не зависит от энергии. Следующим образом выводится плотность состояний в графене

N=g_sg_v\int{\frac{dk_xdk_y}{(2\pi)^2}}=g_sg_v\int{\frac{2\pi kdk}{(2\pi)^2}}=\int{\frac{g_sg_vE}{2\pi \hbar^2v_F^2}dE},\qquad(3.2)

где выражение под интегралом и есть искомая плотность состояний (на единицу площади):

\nu(E)=\frac{g_sg_v}{2\pi \hbar^2v_F^2}E,\qquad(3.3)

где g_s и g_v — спиновое и долинное вырождение соответственно. Отсюда видно, что при нулевой энергии, плотность состояний равна нулю, то есть отсутствуют носители.

Здесь также следует обратить внимание на тот факт, что появление линейного закона дисперсии при рассмотрении гексогональной решётки не является уникальной особенностью для данного типа кристаллической структуры, а может появляться и при существенном искажении решётки вплоть до квадратной решётки [19].

Эксперимент Править

Подавляющее большинство экспериментальных работ посвящено графену полученному отшелушиванием объёмного кристалла пиролитического графита. В дальнейшем речь пойдёт именно о таком материале, если не указан другой метод.

Проводимость Править

Теоретически показано, что основное ограничение на подвижность электронов и дырок в графене (на Si подложке) возникает из-за заряженных примесей в диэлектрике (SiO2), поэтому сейчас ведутся работы по получению свободновисящих плёнок графена, что должно увеличить подвижность до 1.5×106 см2В-1c-1 [20]. Это приведёт к возможности наблюдать дробный квантовый эффект Холла.

Как уже было сказано ранее идеальную двумерную плёнку в свободном состоянии нельзя получить из-за её термодинамической нестабильности. Но если в плёнке будут дефекты или она будет деформирована в пространстве (в третьем измерении), то такая «неидеальная» плёнка может существовать без контакта с подложкой [21]. В эксперименте [22] с использованием просвечивающего электронного микроскопа было показано, что свободные плёнки графена существуют и образуют поверхность сложной волнистой формы, с латеральными размерами пространственных неоднородностей около 5 — 10 нм и высотой — 1 нм. В статье [23] было показано, что можно создать свободную от контакта с подложкой плёнку закреплённую с двух краёв, образуя, таким образом, наноэлектромеханическую систему. В данном случае подвешенный графен можно рассматривать как мембрану, изменение частоты механических колебаний которой предлагается использовать для детектирования массы, силы и заряда, то есть использовать в качестве высокочувствительного сенсора.

Подложка кремния с диэлектриком на котором покоится [2] графен должна быть сильно легирована, для того чтобы её можно было использовать в качестве обратного затвора, при момощи которого можно управлять концентрацией и даже изменять тип проводимости. Поскольку графен является полуметаллом, то приложение положительного напряжения к затвору приводит к электронной проводимости графена и обратно — если приложить отрицательное напряжение, то основными носителями станут дырки, поэтому в принципе нельзя обеднить полностью графен от носителей. Заметим, что если графит состоит из нескольких десятков слоёв, то электрическое поле достаточно хорошо экранированно, как и в металлах, огромным количесвом носителей в полуметалле [11].

В идеальном случае, когда отсутствует легирование и затворное напряжение равно нулю не должно быть носителей тока (см. плотность состояний), что следуя наивным представлениям приводит к отсутствию проводимости, но как показывают эксперименты и теоретические работы [24] вблизи дираковской точки или точки электронейтральности для дираковских фермионов существует конечное значение проводимости, хотя величина минимальной проводимости зависит от метода рассчёта. Эта идеальная область не изучена просто потому, что нет достаточно чистых обрзцов. В действительности все плёнки графена соединены с подложкой и это приводит к неоднородностям, флуктуациям потенциала, что ведёт к пространственной неоднородности типа проводимости по образцу, поэтому даже в точке электронейтральности концентрация носителей теоретически не меньше чем 1012 см-2. Здесь проявляются отличие от обычных систем с двумерным электронным или дырочным газом, а именно отсутствует переход металл-диэлектрик.

Линейный закон дисперсии Править

Энергия уровней Ландау для уравнения Дирака запишется в виде

E_{LL}=\sqrt{2e\hbar v_F^2B\left(N+1/2\pm1/2\right)},\qquad(4.1)

где «±» соответствует спиновому расщеплению. Плотность состояний в графене осциллирует как функция обратного магнитного поля и её период равен

\Delta\left(\frac{1}{B}\right)=\frac{\hbar}{2\pi e}S(E),\qquad(4.2)

где S(E)=\pi k^2 — площадь орбиты в пространстве волновых векторов на уровне Ферми. Осциллирующий характер плотности состояний приводит к осцилляциям магнетосопротивления, что эквивалентно эффекту Шубникова — де Гааза в обычных двумерных системах. Исследуя температурную зависимость амплитуды осцилляций, находят циклотронную массу носителей.

Из периода осцилляций можно определить концентрацию носителей

\Delta\left(\frac{1}{B}\right)=\frac{h}{4e}n.\qquad(4.3)

Циклотронная масса связана с площадью орбиты следующим соотношением

m_c=\frac{\hbar^2}{2\pi}\frac{\partial S(E)}{\partial E}.\qquad(4.4)

Если принять во внимание линейный закон дисперсии для носителей в графене (3.1), то зависимость эффективной массы от концентрации запишется в виде

m_c=\frac{E}{v_F^2}=\left(\frac{h^2n}{4\pi v_F^2}\right)^{1/2}.\qquad(4.5)

Согласие этой корневой зависимости с экспериментальными результатами стало доказательством линейности закона дисперсии в графене [8].

Квантовый эффект Холла Править

Впервые аномальный (англ. unconventional) квантовый эффект Холла наблюдали в работе [8], где было показано, что носители в графене действительно обладают нулевой эффективной массой, поскольку положения плато на зависимости диагональной компоненты тензора проводимости соответствовали фактору заполнения \nu=\pm4(|n|+1/2) в единицах e^2/h. Это квантование согласуется с теорией квантового эффекта Холла для дираковских безмассовых фермионов [25]. Сравнение целочисленного квантового эффекта Холла в обычной двумерной системе и графене смотрите на рисунке 6. Здесь показаны уширенные уровни Ландау для электронов (выделение красным цветом) и для дырок (синий цвет). Если уровень Ферми находится между уровнями Ландау, то на зависимости холловскй проводимости \sigma_{xy} наблюдается ряд плато. Эта зависимоть отличается от обычных двумерных систем (аналогом может служить двумерный электронный газ в кремнии, который является двухдолинным полупроводником в плоскостях эквивалентных {100}, то есть тоже обладает четырёхкратным вырождением уровней Ландау и холловские плато наблюдаются при \nu=4|n|).

Квантовый эффект Холла (КЭХ) может использоваться как эталон сопротивления, потому что численное значение наблюдаемого в графене плато равное h/2e^2 выполняется с хорошей точностью, хотя качество образцов уступает высокоподвижному ДЭГ в GaAs, и, соответственно, точности квантования. Преимущество КЭХ в графене в том, что он наблюдается при комнатной температуре [26] (в магнитных полях свыше 20 Т). Основное ограничение на наблюдение КЭХ при комнатной температуре накладывает не само размытие распределения Ферми-Дирака, а рассеяние носителей на примесях, что приводит к уширению уровней Ландау.

Graphene QHE

Рис. 6. a) Квантовый эффект Холла в обычной двумерной системе. b) Квантовый эффект Холла в графене.

В современных образцах вплоть до 45 Т невозможно наблюдать дробный квантовый эффект Холла, но наблюдается целочисленный квантовый эффект Холла в графене, который не совпадает с обычным квантовым эффектом Холла. В работе [27] наблюдается спиновое расщепление релятивистских уровней Ландау и снятие четырёхкратного вырождения для наинизшего уровня Ландау вблизи точки электронейтральности. Для объяснения этого эффекта предложено несколько теорий [28], но недостаточное количество экспериментального материала не позволяет выбрать среди них правильную.

Поразительные факты, наблюдающиеся в графене Править

Honeycombtransl1

Рис. 7. Для получения нанотрубки (n, m), графитовую плоскость надо разрезать по направлениям пунктирных линий и свернуть вдоль направления вектора R.

  • В статье, опубликованной 10 ноября 2005 года в журнале Nature [8], Константин Новоселов и Андре Гейм утверждают, что электрические заряды в графене ведут себя как релятивистские частицы с нулевой эффективной массой. Эти частицы, известные как безмассовые фермионы Дирака, и описываются уравнением Дирака, хотя в эффекте Шубникова-де Гааза (осцилляции магнетосопротивления) наблюдаемые осцилляции соответствуют конечной циклотронной массе.
  • Так как закон дисперсии для носителей идентичен безмассовым частицам, то графен может выступать в качестве экспериментальной лаборатории для квантовой электродинамики [29].
  • Квантовый эффект Холла в графене может наблюдаться даже при комнатной температуре [26] из-за большой циклотронной энергии, при которой температурное размытие функции распеределения Ферми-Дирака меньше этой энергии E_N=\sqrt{2Ne\hbar v_F^2B},\,N=0,1,.. (это расстояние между первым и нулевым уровнями Ландау равно 1200 K при магнитном поле 9 Т) [30].
  • При сворачивании графена в цилиндр (см. Рис. 7) получается одностенная нанотрубка. В зависимости от конкретной схемы сворачивания графитовой плоскости, нанотрубки могут обладать или металлическими или полупроводниковыми свойствами [31].
  • В графене отсутствует вигнеровская кристаллизация [32].
  • В графене нарушается приближение Борна-Оппенгеймера (адиабатическое приближение), гласящее что в силу медленного движения ионных остовов решётки их можно включить в рассмотрение как возмущение известное как фононы решётки — основное приближение, на котором строится зонная теория твёрдых тел [33].

Ссылки Править

  1. 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 Wallace P. R. „The Band Theory of Graphite“, Phys. Rev. 71, 622 (1947) Wallace P.R.
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 Novoselov K. S. et al. «Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films», Science 306, 666 (2004) Wallace P.R.
  3. 3,0 3,1 Stankovich S. et al. «Graphene-based composite materials», Nature 442, 282 (2006) Wallace P.R.
  4. 4,0 4,1 Chen Z. cond-mat/0701599 [1]
  5. 5,0 5,1 Novoselov, K. S. et al. «Two-dimensional atomic crystals», PNAS 102, 10451 (2005) Wallace P.R.
  6. 6,0 6,1 Rollings E. cond-mat/0512226 [2]
  7. 7,0 7,1 Hass J. cond-mat/0604206 [3]
  8. 8,0 8,1 8,2 8,3 8,4 8,5 Novoselov K. S. et al. «Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene», Nature 438, 197 (2005) Wallace P.R.
  9. http://news.google.ru/news?hl=ru&newwindow=1&q=%D0%93%D1%80%D0%B0%D1%84%D0%B5%D0%BD&um=1&ie=UTF-8&ei=C_VFSuTwPM6NsAbApZgb&sa=X&oi=news_group&ct=title&resnum=614621089
  10. Peierls R., Helv. Phys. Acta 7, 81 (1934); Peierls R., Ann. I. H. Poincare 5, 177 (1935); Landau L. D., Phys. Z. Sowjetvunion 11, 26 (1937); Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. «Курс теоретической физики. Том 5. Статистическая физика». — Физматлит. — 616 стр. с. — ISBN 5922100548.
  11. 11,0 11,1 Zhang Y. et al. Fabrication and electric-field-dependent transport measurements of mesoscopic graphite devices Appl. Phys. Lett. 86, 073104 (2005) Wallace P.R.
  12. Solution Properties of Graphite and Graphene Sandip Niyogi, Elena Bekyarova, Mikhail E. Itkis, Jared L. McWilliams, Mark A. Hamon, and Robert C. Haddon J. Am. Chem. Soc.; 2006; 128(24) pp 7720 — 7721; (Communication) Wallace P.R.
  13. Bunch J. S. et al. Coulomb Oscillations and Hall Effect in Quasi-2D Graphite Quantum Dots Nano Lett. 5, 287 (2005) Wallace P.R.
  14. Stankovich S. et al. „Stable aqueous dispersions of graphitic nanoplatelets via the reduction of exfoliated graphite oxide in the presence of poly(sodium 4-styrenesulfonate)“, J. Mater. Chem. 16, 155 (2006) Wallace P.R.
  15. Berger, C. et al. „Electronic Confinement and Coherence in Patterned Epitaxial Graphene“, Science 312, 1191 (2006) Wallace P.R.
  16. Carbon-Based Electronics: Researchers Develop Foundation for Circuitry and Devices Based on Graphite March 14, 2006 gtresearchnews.gatech.edu Link
  17. Schedin F. cond-mat/0610809 [4]
  18. Hwang E. H. cond-mat/0610834 [5]
  19. Hatsugai Y. cond-mat/0701431 [6]
  20. Hwang E. H. cond-mat/0610157 [7]
  21. David Nelson (Editor), Steven Weinberg (Editor), T. Piran (Editor) „Statistical Mechanics of Membranes and Surfaces“. — 2nd ed.. — World Scientific, Singapore. — p. 444 с. — ISBN 9789812387608
  22. Meyer J. C. cond-mat/0701379 [8]
  23. Bunch J. S. et al., Electromechanical Resonators from Graphene Sheets Science 315, 490 (2007) Wallace P.R.
  24. Ludwig A. W. W., et al., “Integer quantum Hall transition: An alternative approach and exact results” Phys. Rev. B 50, 7526 (1994) Wallace P.R.; Ziegler K., „Scaling behavior and universality near the quantum Hall transition“ Phys. Rev. B 55, 10661 (1997) Wallace P.R.; Ziegler K., „Delocalization of 2D Dirac Fermions: The Role of a Broken Supersymmetry“ Phys. Rev. Lett. 80, 3113 (1998) Wallace P.R.; Katsnelson M. I., „Zitterbewegung, chirality, and minimal conductivity in graphene“ Eur. Phys. J. B 51, 157 (2006) Wallace P.R.; Gusynin V. P. et al., “Unconventional Integer Quantum Hall Effect in Graphene” Phys. Rev. Lett. 95, 146801 (2005) Wallace P.R.; Peres N. M. R. et al., “Electronic properties of disordered two-dimensional carbon” Phys. Rev. B 73, 125411 (2006) Wallace P.R.; Tworzydlo J. et al., ”Sub-Poissonian Shot Noise in Graphene” Phys. Rev. Lett. 96, 246802 (2006) Wallace P.R.; Cserti J. “Minimal longitudinal dc conductivity of perfect bilayer grapheme” Phys. Rev. B 75, 033405 (2007) Wallace P.R.; Ziegler K., “Robust Transport Properties in Graphene„ Phys. Rev. Lett. 97, 266802 (2006) Wallace P.R.
  25. Gusynin V. P. et al. „Unconventional Integer Quantum Hall Effect in Graphene“ Phys. Rev. Lett. 95, 146801 (2005) Wallace P.R.
  26. 26,0 26,1 Novoselov K. S. cond-mat/0702408 [9]
  27. Zhang Y., et al., „Landau-Level Splitting in Graphene in High Magnetic Fields“ Phys. Rev. Lett. 96, 136806 (2006) Wallace P.R.
  28. Fuchs J. et al. Spontaneous Parity Breaking of Graphene in the Quantum Hall Regime Phys. Rev. Lett. 98, 016803 (2007) Wallace P.R.; Nomura K. et al., Quantum Hall Ferromagnetism in Graphene Phys. Rev. Lett. 96, 256602 (2006) Wallace P.R.; Abanin D. A. et al., Spin-Filtered Edge States and Quantum Hall Effect in Graphene Phys. Rev. Lett. 96, 176803 (2006) Wallace P.R.; Fertig H. A. et al., Luttinger Liquid at the Edge of Undoped Graphene in a Strong Magnetic Field Phys. Rev. Lett. 97, 116805 (2006) Wallace P.R.; Goerbig M. O. et al., Electron interactions in graphene in a strong magnetic field Phys. Rev. B 74, 161407 (2006) Wallace P.R.; Alicea J. et al., Graphene integer quantum Hall effect in the ferromagnetic and paramagnetic regimes Phys. Rev. B 74, 075422 (2006) Wallace P.R.; Gusynin V. P. et al., Excitonic gap, phase transition, and quantum Hall effect in graphene Phys. Rev. B 74, 195429 (2006) Wallace P.R.
  29. Neto, A. C. et al. Drawing conclusions from graphene Phys. World 19 (11), p 33 (2006) ISSN 0953-8585.
  30. Sharapov S. G. et al. "Magnetic oscillations in planar systems with the Dirac-like spectrum of quasiparticle excitations" Phys. Rev. B 69, 075104 (2004) Wallace P.R..
  31. R. Saito, G. Dresselhaus, M. S. Dresselhaus „Physical Properties of Carbon Nanotubes“. — World Scientific. — p. 272 с. — ISBN 1860942237
  32. Dahal H. P. et al. „Absence of Wigner crystallization in graphene“ Phys. Rev. B 74, 233405 (2006) Wallace P.R.
  33. Pisana S. et al. cond-mat/0611714 [10]

См. также Править

Внешние ссылки Править


Аллотропные формы углерода
Алмаз | Графен | Графит | Карбин | Технический углерод | Углеродные нанотрубки | Фуллерены
Allotr ugleroda =

Виды аллотропии углерода

Викия-сеть

Случайная вики