Викия

Наука

Вещественное число

22 032статьи на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение2 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Вещественные или действительные числа могут быть интуитивно определены как числа, описывающие положение точек на прямой. Формально строится как множество бесконечных десятичных дробей или пополнение множества рациональных чисел относительно "естественного" расстояния.

Множество вещественных чисел обозначается R и часто назвается вещественной прямой. Относительно операций сложения и умножения вещественные числа образуют поле.

Примеры чиселПравить

  • Рациональные числа - 32, 36/29.
  • Иррациональные числа — Пи, \sqrt 2.

ОпределенияПравить

Существует несколько стандартых путей определения вещественных чисел:

Аксиоматическое определениеПравить

См. основную статью Аксиоматика вещественных чисел.

Вещественные числа \mathbb{R} можно определить как полное упорядоченное поле, то есть поле с отношением ≤ которое удовлетворяет следующим аксиомам:

  1. Отношение ≤ является полным порядком:
    • Для любых a,b\in\mathbb{R} a≤b или b≤a;
    • Если a≤b и b≤a, то a=b для любых a,b\in\mathbb{R};
    • Если a≤b и b≤c, то a≤c для любых a,b,c\in\mathbb{R};
    • Пусть A,B⊂\mathbb{R} такие, что a≤b для любых a∈A и b∈B, тогда существует c∈\mathbb{R} такое, что a≤c≤b для любых a∈A и b∈B.
  2. Порядок согласован со структурой поля:
    • Если a≤b, то a+c≤b+c для любых a,b,c∈\mathbb{R};
    • Если 0≤a и 0≤b, то 0≤ab для любых a,b∈\mathbb{R};

При этом для любого множества \{x_k\} такого, что все x_k \le A для некоторого A\in\mathbb{R}, существует точная верхняя грань, то есть число X\in\mathbb{R} такое, что

  1. \forall k\;x_k\le X
  2. Если для некоторого Y\in\mathbb{R} \forall k\;x_k\le Y, то X\le Y.

Эти аксиомы задают вещественные числа единственным образом, т. е. любые два поля с отношением порядка, удовлетворяющим этим аксиомам, изоморфны.

Пополнение рациональных чиселПравить

Вещественные числа \Bbb{R} могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел \Bbb{Q} по отношению к обычной метрике d(r,q)=|r-q|\,\!.

Более точно, рассмотрим все фундаментальные последовательности рациональных чисел \{r_i\}\,\!. На таких последовательностях можно естественным образом ввести арифметические операции: \{r_i\} + \{q_i\} = \{r_i + q_i\}\,\! и \{r_i\} \cdot \{q_i\} = \{r_i \cdot q_i\}.

Две такие последовательности \{r_i\}\,\! и \{q_i\}\,\! считаются эквивалентными (\{r_i\} \sim \{q_i\}), если |r_i-q_i|\to 0 при i\to \infty.

Множество вещественных чисел можно определить как классы эквивалентности этих последовательностей.

Дедекиндовы сеченияПравить

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел \mathbb{Q} на два подмножества A\,\! и B\,\! такие, что:

  1. a\le b для любых a\in A и b\in B ;
  2. B\,\! не имеет минимального элемента.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений, на которых некоторым образом определяются операции сложения и умножения. Например, вещественному числу \sqrt 2 соответствует дедекиндово сечение, определяемое  A=\{x\in \mathbb Q|x<0\  или \  x^2\le 2 \}\ и \  B=\{x\in \mathbb Q|x>0 и  x^2> 2 \}\,\!

Бесконечные десятичные дробиПравить

Как правило, такое задание практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида \pm d_{-k} d_{-k+1}\dots d_{0}, d_{1} d_{2} \dots, где d_i\,\! являются десятичными цифрами, то есть 0\leq d_i< 10.

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид d 9 9 9\dots и (d+1) 0 0 0\dots, где 0\leq d\leq 8

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда \pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}.

СсылкиПравить

  • Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
  • Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

  1. Википедия Вещественное число адрес
  2. Викисловарьадрес
  3. Викицитатникадрес
  4. Викиучебникадрес
  5. Викитекаадрес
  6. Викиновостиадрес
  7. Викиверситетадрес
  8. Викигидадрес

Выделить Вещественное число и найти в:

  1. Вокруг света число адрес
  2. Академик число/ru/ru/ адрес
  3. Астронет адрес
  4. Элементы число+&search адрес
  5. Научная Россия число&mode=2&sort=2 адрес
  6. Кругосвет число&results_per_page=10 адрес
  7. Научная Сеть
  8. Традицияадрес
  9. Циклопедияадрес
  10. Викизнаниечисло адрес
  1. Google
  2. Bing
  3. Yahoo
  4. Яндекс
  5. Mail.ru
  6. Рамблер
  7. Нигма.РФ
  8. Спутник
  9. Google Scholar
  10. Апорт
  11. Онлайн-переводчик
  12. Архив Интернета
  13. Научно-популярные фильмы на Яндексе
  14. Документальные фильмы
  1. Список ru-вики
  2. Вики-сайты на русском языке
  3. Список крупных русскоязычных википроектов
  4. Каталог wiki-сайтов
  5. Русскоязычные wiki-проекты
  6. Викизнание:Каталог wiki-сайтов
  7. Научно-популярные сайты в Интернете
  8. Лучшие научные сайты на нашем портале
  9. Лучшие научно-популярные сайты
  10. Каталог научно-познавательных сайтов
  11. НАУКА В РУНЕТЕ: каталог научных и научно-популярных сайтов

  • Страница 0 - краткая статья
  • Страница 1 - энциклопедическая статья
  • Разное - на страницах: 2 , 3 , 4 , 5
  • Прошу вносить вашу информацию в «Вещественное число 1», чтобы сохранить ее

Комментарии читателей:Править

Викия-сеть

Случайная вики