ФЭНДОМ


Байесовский выводстатистический вывод, в котором свидетельство и/или наблюдение используются, чтобы обновить или вновь вывести вероятность того, что гипотеза может быть верной; название байесовский происходит от частого использования в процессе вывода теоремы Байеса, которая была выведена из работ преподобного Томаса Байеса[1].

Свидетельство и изменение веры Править

Байесовский вывод использует аспекты научного метода, который вовлекает сбор свидетельств, предназначенных для того, чтобы поддерживать или не поддерживать данную гипотезу. Поскольку свидетельства накапливаются, степень веры в гипотезу должна измениться. С достаточным количеством свидетельств, она должна стать либо очень высокой, либо очень низкой. Таким образом, сторонники байесовского вывода говорят, что он может использоваться, чтобы провести различие между противоречивыми гипотезами: гипотезы с очень высокой поддержкой должны быть приняты как истинные, а с очень низкой поддержкой должны быть отклонены как ложные. Однако, противники говорят, что этот метод вывода может привести к отклонению благодаря исходному верованию, которого каждый придерживается до того, когда какое-либо свидетельство будет собрано (это — форма так называемого индуктивного отклонения (англ. bias)).

Байесовский вывод использует числовую оценку степени веры в гипотезу до получения свидетельства, чтобы вычислить числовую оценку степени веры в гипотезу после того, как свидетельство было получено (этот процесс повторяется, когда получено дополнительное свидетельство). В индукционном процессе байесовский вывод обычно опирается на степени веры, или субъективные вероятности, и не обязательно утверждает, что обеспечен объективный метод индукции. Тем не менее, некоторые байесовские статистики полагают, что вероятности могут иметь объективное значение, и поэтому байесовский вывод может обеспечить объективный метод индукции (см. научный метод).

Теорема Байеса подправляет вероятность гипотезы, данную новым свидетельством, следующим образом:

$ P(H|E) = \frac{P(E|H)\;P(H)}{P(E)}, $

где

  • $ H $ представляет конкретную гипотезу, которая может быть, а может и не быть некоторой нулевой гипотезой.
  • $ P(H) $ называется априорной вероятностью $ H $, которая была выведена прежде, чем новое свидетельство $ E $ стало доступным.
  • $ P(E|H) $ называется условной вероятностью наблюдения свидетельства $ E $, если гипотеза $ H $ оказывается верной; её также называют функцией правдоподобия, когда она рассматривается как функция $ H $ для фиксированного $ E $.
  • $ P(E) $ называется маргинальной вероятностью $ E $: априорная вероятность наблюдения нового свидетельства $ E $ согласно всем возможным гипотезам; может быть вычислено по формуле полной вероятности:
$ P(E) = \sum P(E|H_i)P(H_i) $
— как сумма произведений всех вероятностей любого полного набора взаимно исключающих гипотез и соответствующих условных вероятностей.

...продолжение следует

Простые примеры байесовского вывода Править

Из какой вазы печенье? Править

Для иллюстрации предположим, что есть две полных вазы печенья. В 1-ой вазе 10 шоколадного и 30 простого печенья, в то время как во 2-ой вазе 20 каждого сорта. Наш друг Фред выбирает вазу наугад, и затем выбирает печенье наугад. Мы можем предположить, что нет никакой причины полагать, что Фред рассматривает одну вазу иначе другой, аналогично и для печенья. Печенье, оказывается, простым. Насколько вероятно, что Фред выбрал его из 1-ой вазы?

Интуитивно, кажется ясным, что ответ должен быть больше половины, так как есть больше простого печенья в 1-ой вазе. Точный ответ дается теоремой Байеса. Пусть $ H_1 $ — выбор вазы 1, а $ H_2 $— выбор вазы 2. Предполагается, что вазы идентичны с точки зрения Фреда, таким образом $ P (H_1) =P (H_2) $, а вместе должны составить 1, таким образом обе равны 0.5.

Событие $ E $ — наблюдение простого печенья. Из содержания ваз, мы знаем что $ P (E|H_1) = 30/40 = 0.75 $ и $ P (E|H_2) = 20/40 = 0.5 $.

Формула Бейеса тогда даёт

$ \begin{matrix} P (H_1|E) &=& \frac {P (E|H_1) P (H_1)} {P (E|H_1)P (H_1) + P (E|H_2)P (H_2)} \\ \\ &=& \frac {0.75 \times 0.5} {0.75 \times 0.5 + 0.5 \times 0.5} \\ \\ &=& 0.6. \end{matrix} $

До того, как мы наблюдали печенье, вероятность, которую мы назначили для Фреда, выбиравшего 1-ю вазу, была априорной вероятностью $ P (H_1) $, равной 0.5. После наблюдения печенья, мы должны пересмотреть вероятность $ P (H_1|E) $, которая теперь равна 0.6.

Ложные положительные реакции в медицинском тесте Править

В зале суда Править

Теория поиска Править

Ещё математические примеры Править

Наивный байесовский классификатор Править

См. Наивный байесовский классификатор.

Апостериорные распределение биномиального параметра Править

Компьютерные применения Править

Примечания Править

  1. Douglas Hubbard "How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business" pg. 46, John Wiley & Sons, 2007

Литература Править

СсылкиПравить

См. такжеПравить