Байесовский вывод — статистический вывод, в котором свидетельство и/или наблюдение используются, чтобы обновить или вновь вывести вероятность того, что гипотеза может быть верной; название байесовский происходит от частого использования в процессе вывода теоремы Байеса, которая была выведена из работ преподобного Томаса Байеса^[1].

Содержание 1 Свидетельство и изменение веры 2 Простые примеры байесовского вывода 2.1 Из какой вазы печенье? 2.2 Ложные положительные реакции в медицинском тесте 2.3 В зале суда 2.4 Теория поиска 3 Ещё математические примеры 3.1 Наивный байесовский классификатор 3.2 Апостериорные распределение биномиального параметра 3.3 Компьютерные применения 4 Примечания 5 Литература 6 Ссылки 7 См. также

Свидетельство и изменение веры Править

Байесовский вывод использует аспекты научного метода, который вовлекает сбор свидетельств, предназначенных для того, чтобы поддерживать или не поддерживать данную гипотезу. Поскольку свидетельства накапливаются, степень веры в гипотезу должна измениться. С достаточным количеством свидетельств, она должна стать либо очень высокой, либо очень низкой. Таким образом, сторонники байесовского вывода говорят, что он может использоваться, чтобы провести различие между противоречивыми гипотезами: гипотезы с очень высокой поддержкой должны быть приняты как истинные, а с очень низкой поддержкой должны быть отклонены как ложные. Однако, противники говорят, что этот метод вывода может привести к отклонению благодаря исходному верованию, которого каждый придерживается до того, когда какое-либо свидетельство будет собрано (это — форма так называемого индуктивного отклонения (англ. bias)).

Байесовский вывод использует числовую оценку степени веры в гипотезу до получения свидетельства, чтобы вычислить числовую оценку степени веры в гипотезу после того, как свидетельство было получено (этот процесс повторяется, когда получено дополнительное свидетельство). В индукционном процессе байесовский вывод обычно опирается на степени веры, или субъективные вероятности, и не обязательно утверждает, что обеспечен объективный метод индукции. Тем не менее, некоторые байесовские статистики полагают, что вероятности могут иметь объективное значение, и поэтому байесовский вывод может обеспечить объективный метод индукции (см. научный метод).

Теорема Байеса подправляет вероятность гипотезы, данную новым свидетельством, следующим образом:

где

• H представляет конкретную гипотезу, которая может быть, а может и не быть некоторой нулевой гипотезой.
• P(H) называется априорной вероятностью H, которая была выведена прежде, чем новое свидетельство E стало доступным.
• P(E | H) называется условной вероятностью наблюдения свидетельства E, если гипотеза H оказывается верной; её также называют функцией правдоподобия, когда она рассматривается как функция H для фиксированного E.
• P(E) называется маргинальной вероятностью E: априорная вероятность наблюдения нового свидетельства E согласно всем возможным гипотезам; может быть вычислено по формуле полной вероятности:

— как сумма произведений всех вероятностей любого полного набора взаимно исключающих гипотез и соответствующих условных вероятностей.

• P(H | E) называется апостериорной вероятностью H для данного E.

...продолжение следует

Простые примеры байесовского вывода Править

Из какой вазы печенье? Править

Для иллюстрации предположим, что есть две полных вазы печенья. В 1-ой вазе 10 шоколадного и 30 простого печенья, в то время как во 2-ой вазе 20 каждого сорта. Наш друг Фред выбирает вазу наугад, и затем выбирает печенье наугад. Мы можем предположить, что нет никакой причины полагать, что Фред рассматривает одну вазу иначе другой, аналогично и для печенья. Печенье, оказывается, простым. Насколько вероятно, что Фред выбрал его из 1-ой вазы?

Интуитивно, кажется ясным, что ответ должен быть больше половины, так как есть больше простого печенья в 1-ой вазе. Точный ответ дается теоремой Байеса. Пусть H₁ — выбор вазы 1, а H₂ — выбор вазы 2. Предполагается, что вазы идентичны с точки зрения Фреда, таким образом P(H₁) = P(H₂), а вместе должны составить 1, таким образом обе равны 0.5.

Событие E — наблюдение простого печенья. Из содержания ваз, мы знаем что P(E | H₁) = 30 / 40 = 0.75 и P(E | H₂) = 20 / 40 = 0.5.

Формула Бейеса тогда даёт

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция\end): \begin{matrix} P (H_1|E) &=& \frac {P (E|H_1) P (H_1)} {P (E|H_1)P (H_1) + P (E|H_2)P (H_2)} \\ \\ &=& \frac {0.75 \times 0.5} {0.75 \times 0.5 + 0.5 \times 0.5} \\ \\ &=& 0.6. \end {matrix}

До того, как мы наблюдали печенье, вероятность, которую мы назначили для Фреда, выбиравшего 1-ю вазу, была априорной вероятностью P(H₁), равной 0.5. После наблюдения печенья, мы должны пересмотреть вероятность P(H₁ | E), которая теперь равна 0.6.

Ложные положительные реакции в медицинском тесте Править

В зале суда Править

Теория поиска Править

Основная статья: Байесовская теория поиска

Ещё математические примеры Править

Наивный байесовский классификатор Править

См. Наивный байесовский классификатор.

Апостериорные распределение биномиального параметра Править

Компьютерные применения Править

Примечания Править

1. ↑ Douglas Hubbard "How to Measure Anything: Finding the Value of Intangibles in Business" pg. 46, John Wiley & Sons, 2007

Литература Править

СсылкиПравить

• Commentary on Regina versus Adams
• Mathematical notes on Bayesian statistics and Markov chain Monte Carlo
• Bayesian Rating/Ranking How to implement Bayes' Theorem for online rating and ranking systems
• Bayesian reading list, categorized and annotated. Designed for cognitive science; maintained by Tom Griffiths.
• [3] A short article on Baysian Multisensory Perception
• [4] Bayesian probabilistic learning in robots
• Stanford Encyclopedia of Philosophy: Inductive Logic a comprehensive Bayesian treatment of Inductive Logic and Confirmation Theory
• Confirmation Theory An extensive presentation of Bayesian Confirmation Theory

См. такжеПравить