Аксиоматика Колмогорова
Материал из Науки — свободной энциклопедии.
Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.
[править] История аксиоматизации теории вероятностей
Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»:
- «С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов».
До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман (1908), С. Н. Бернштейн (1917), Р. Мизес (1919 и 1928), а также А. Ломницкий (1923) на базе идей Э. Бореля о связи понятий вероятности и меры.
А. Н. Колмогоров под влиянием идей нескольких теорий: множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.
[править] Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей
Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.
Пусть 
— множество элементов 
, которые называются элементарными событиями, а 
— множество подмножеств , называемых случайными событиями (или просто — событиями), а — пространством элементарных событии.
- Аксиома I (алгебра событий). является алгеброй событий.
- Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию
из поставлено в соответствие неотрицательное действительное число 
, которое называется вероятностью события .
- Аксиома III (нормировка вероятности).
.
- Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события и
не пересекаются, то
-
.
Совокупность объектов 
, удовлетворяющую аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).
Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента , — из и невозможного событий (пустого множества) 
, при этом положено 
. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.
[править] Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом
Обычно можно предполагать, что система рассматриваемых событий 
которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество (аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число 
раз и если при этом через 
обозначено число наступления события , то отношение 
будет мало отличаться от . Далее ясно, что 
, так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события всегда 
, благодаря чему естественно положить (аксиома III). Если, наконец, и несовместны между собой (то есть события и не пересекаются как подмножества ), то 
, где 
обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события 
. Отсюда следует:
Следовательно, является уместным положить
-
(аксиома IV).
[править] Аксиома непрерывности вероятности и бесконечные вероятностные пространства
В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая
- Аксиома V (непрерывность вероятности). Для убывающей последовательности
событий из такой, что
имеет место равенство
Аксиома непрерывности вероятности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство , которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следуeт из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.
Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.
[править] Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события»
Алгебра событий пространства элементарных событий называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы 
событий 
из принадлежат . В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют 
-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле 
. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра 
, содержащая 
. Более того, справедлива
Теорема (о продолжении). Определённую на 
неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств 
всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из и при этом единственным образом.
Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства , которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.
Вместе с тем множества из сигма-алгебры бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из , то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.
[править] Литература
- Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., ГНТИ, 1936.
- Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е издание. М.: Наука, 1974.
- Больман (Bohlmann G.) Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. — Roma, 6-11 Aprile. 1908. V.III. Sezione IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
- Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковск. Матем. Об-ва, 1917, Вып. 15, с.209-274.
- Борель (Borel E.) Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p.247-271.
- Ломницкий (Lomnicki A.) Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math., 1923, v.4, p.34-71.
- Мизес (Mises R. von) Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v.5, p.52-99.
